Закон кирхгофа для разветвленной цепи

| | 0 Comment

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. (100.3)) позволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколь­ко замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т. д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.*

*Г. Кирхгоф (1824—1887) — немецкий физик.

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ного моста Уитстона.* Сопротивления R 1, R 2, R 3 и R 4 образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r , между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG . Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(101.3)

Для контуров АСВ A , ACDA и CBDC , согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R 2, R 3 и R 4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю ( IG = 0) . Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста ( IG = 0) при определении искомого сопротивления R 1 э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R 3 и R 4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R 3/ R 4 можно заменить отношением l 3/ l 4. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101.8)

Длины l 3 и l 4 легко измеряются по шкале, a R 2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R 1.

www.pppa.ru

Расчет разветвленных цепей с помощью закона Ома довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил немецкого физика Г. Кирхгофа (1824 – 1887).

Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи равна нулю:

В случае установившегося постоянного тока в цепи ни в одной точке проводника, ни на одном из его участков не должны накапливаться электрические заряды (узел – любой участок цепи, где сходятся более двух проводников (рис. 7.8)).

Токи, сходящиеся к узлу, считаются положительными:

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленной цепи.

Для произвольного замкнутого контура с произвольным числом разветвлений (рис. 7.9) можно записать для каждого элемента контура:

Складывая эти уравнения получим второе правило Кирхгофа:

ens.tpu.ru

Курс лекций, модуль 5


Загрузить всю книгу

§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.

Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+ I ), из узла – знак (– I ).

Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток.

Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.

.

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из закона сохранения заряда.

Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми являются только ( N – 1) уравнения, N -е будет следствием из них.

Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.

Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи.

Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

.

Для доказательства рассмотрим контур:

Пусть обход контура совершается по часовой стрелке: тогда для каждого участка согласно, закон Ома:

.

Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.

Составление системы уравнений

Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.

По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать ( N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.

Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.

При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:

  • Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.
  • Выбрать направление обхода контура. Произведение Ii×Riсчитается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрицательным (– Ii×Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают.
    ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если против.
  • Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.
  • Модели: Цепи постоянного тока ОФ 1.0; Видеозадачи: 1) Загадка для лентяев; 2) Задуем лампочку – Видеозадачник, ч1, 3

    edu.tltsu.ru

    17.6. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

    Расчет разветвленных цепей упрощается, если пользоваться правилами Кирхгофа. Первое правило относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится более чем два тока. Токи, текущие к узлу, считается имеют один знак (плюс или минус), от узла — имеют другой знак (минус или плюс).

    Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды и формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю

    Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи.

    Рассмотрим произвольный замкнутый контур в разветвленной цепи (контур 1-2-3-4-1) (рис. 1.2). Зададим обход контура по часовой стрелке и применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома.



    Сложим эти выражения, при этом потенциалы сокращаются и получаем выражение

    В любом замкнутом контуре произвольной разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений (произведений сил токов на сопротивление) соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме эдс входящих в контур.

    При решении задач рекомендуется следующий порядок:

      Произвольно выбрать и обозначить на чертеже направление токов во
      всех участках цепи.

  • Записать уравнение для всех n-1 узлов.
  • Выделить произвольный контур в цепи и выбрать направление обхода.
    Записать второе правило Кирхгофа.
  • physics-lectures.ru

    Закон кирхгофа для разветвленной цепи

    1.10. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

    Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа , которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

    В разветвленных цепях можно выделить узловые точки ( узлы ), в которых сходятся не менее трех проводников (рис. 1.10.1). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

    В цепи можно выделить три контура abcd , adef и abcdef . Из них только два являются независимыми (например, abcd и adef ), так как третий не содержит никаких новых участков.

    Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

    Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 1.10.2, например, abcd . Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура . При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 1.10.3.

    Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:

    Для участка bc : I 1 R 1 = Δφ bc1.

    Для участка da : I 2 R 2 = Δφ da2.

    Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что Δφ bc = – Δφ da , получим:

    Аналогично, для контура adef можно записать:

    Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

    Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 1.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов I 1, I 2 и I 3 имеет вид:

    Таким образом, правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Это решение не вызывает принципиальных затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже в случае достаточно простых цепей. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идет в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

    physics.ru

    Это интересно:

    • Прямое указание закона Каким бывает указание закона: (определения приводятся в именительном падеже) Делаем Карту слов лучше вместе Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю как устроен ваш мир. Помоги […]
    • Буковель проживание поляница Курорт Поляниця/Буковель/ Адмістративний поділ: Поляниця – центр сільської Ради та підпорядковано міській раді м.Яремче,Івано-Франківської обл., Україна. Найближчі населені пункти(курорти) :Яблуниця,Татарів,Ворохта,Микуличин,Яремче. Поляниця – Село Поляниця […]
    • Ошибка при разрешении доступа к подключению к интернету Решение неполадки «Ошибка при разрешении общего доступа к подключению к интернету» Часто пользователи, желая, расшарить интернет со своего компьютера, сталкиваются с неполадкой «Ошибка при разрешении общего доступа к подключению к интернету». Сегодня пойдет речь о том, […]
    • Как пересчитают пенсию работающим пенсионерам в 2018 году Повышение пенсий с 1 июля 2018 года не планируется В связи с активными обсуждениями предстоящих изменений в пенсионной системе России, направленных на повышение доходов российских пенсионеров, среди населения активно распространяется информация о возможном повышении пенсии […]
    • Правила безопасности тепловых установок Тепловые энергоустановки Правила технической эксплуатации ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕПЛОПОТРЕБЛЯЮЩИХ УСТАНОВОК И ТЕПЛОВЫХ СЕТЕЙ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ СОГЛАСОВАНЫ Советом Федерации независимых профсоюзов России 06.05.1992 г. письмом № 105/78 УТВЕРЖДЕНЫ […]
    • Как оформить диссертацию пример Магистерская диссертация примеры работ Самым важным завершающим этапом обучения магистранта является защита диссертации. Магистерская диссертация, как известно, вид выпускной квалификационной работы. Многие скажут, что диссертация магистра практически то же самое, что и […]
    • Правила чергування е и Правила чергування е и ТРЕНАЖЕР З ПРАВОПИСУ УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ Чергування е з о після ж, ч, ш, ш, дж та й У літературній мові звук e, що стоїть після шиплячих та й , чергується з о. При цьому діють такі закономірності. Перепишіть, вставляючи замість крапок пропущені букви о […]
    • Оформление заявления инн Оформление заявления инн Вы можете заполнить экранную форму Заявления непосредственно на сайте ФНС России в соответствии с полями формы и с сайта ФНС России направить Заявление в налоговый орган. В этом случае Вы сможете получить Свидетельство при личном посещении любого […]