Правило лопиталя лимиты

| | 0 Comment

Правило Лопиталя

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида $ 0/0 $ и $ \infty/\infty $ . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Содержание

Точная формулировка Править

Правило говорит, что если функции $ f(x) $ и $ g(x) $ обладают следующим набором условий:

тогда существует $ \lim_<\frac> = \lim_<\frac> $ . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История Править

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованнного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

Доказательство Править

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $ \left(\frac<0><0>\right) $ ).

Поскольку мы рассматриваем функции $ f $ и $ g $ только в правой проколотой полуокрестности точки $ a $ , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть $ f(a)=g(a)=0 $ . Возьмём некоторый $ x $ из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $ [a,\;x] $ теорему Коши. По этой теореме получим:

но $ f(a)=g(a)=0 $ , поэтому $ \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac=\frac $ .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через $ A $ , из полученного равенства выводим:

$ \forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a $ \forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a M) $ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида $ \left(\frac<\infty><\infty>\right) $ .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен $ A $ . Тогда, при стремлении $ x $ к $ a $ справа, это отношение можно записать как $ A+\alpha $ , где $ \alpha $ — O(1). Запишем это условие:

$ \forall\varepsilon_<1>\, \exists \delta_<1>\, \forall x(x-a

Зафиксируем $ t $ из отрезка $ [a,\;a+\delta_1] $ и применим теорему Коши ко всем $ x $ из отрезка $ [a,\;t] $ :

Для $ x $ , достаточно близких к $ a $ , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как $ f(t) $ и $ g(t) $ — константы, а $ f(x) $ и $ g(x) $ стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен $ 1+\beta $ , где $ \beta $ — бесконечно малая функция при стремлении $ x $ к $ a $ справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $ \varepsilon $ , что и в определении для $ \alpha $ :

$ \forall \varepsilon_<1>\, \exists \delta_<2>\, \forall x(x-a

Получили, что отношение функций представимо в виде $ (1+\beta)(A+\alpha) $ , и $ \left|\frac-A\right| $ \forall M>0\, \exists \delta_<1>>0\, \forall x(x-a 2M) $ .

В определении $ \beta $ будем брать $ \varepsilon_ <1>\frac<1><2>\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_<\frac>=+\infty $ .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

ru.math.wikia.com

Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя

Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться.

      • 1
      • +oo
      • (x^2-1)/(2*x^2-x-1)
        • ((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x
          • ((1+x)^5-(1+5*x))/(x^2+x^5)
            • (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/(5*x-1)^5
              • ( cos(x*e^x) — cos(x*e^(-x)) )/x^3
                • 0
                • ( sinh(x) )^2 / ln( cosh(3*x) )
                • Правила ввода выражений и функций

                  Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

                  absolute(x) Абсолютное значение x
                  (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
                  (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — «Пи», которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

                  В выражениях можно применять следующие операции:

                  Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

                  www.kontrolnaya-rabota.ru

                  Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

                  Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

                  Правило Лопиталя: история и определение

                  На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

                  Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

                  Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

                  Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

                  Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

                  Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

                  Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

                  Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

                  Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

                  Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

                  В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

                  Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

                  Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

                  Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

                  Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

                  Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

                  Теперь перейдем к примерам.

                  Найти предел по правилу Лопиталя:

                  Вычислить с использованием правила Лопиталя:

                  Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

                  Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

                  Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

                  Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

                  zaochnik.ru

                  Правило Лопиталя с примерами

                  Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность 0/0. Раскрыть ее поможет правило Лопиталя. В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

                  1. Неопределенность 0/0. Первое п.Л.

                  Если = 0, то , если последний существует.

                  2. Неопределенность вида ∞/∞ Второе п. Л.

                  Нахождение пределов такого типа называется раскрытием неопределенностей.

                  Если = ∞, то , если последний существует.

                  3. Неопределенности 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ и 0 0 сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем преобразований. Такая запись служит для краткого указания случая при отыскании предела. Каждая неопределенность раскрывается по своему. Правило Лопиталя можно применять несколько раз, пока не избавимся от неопределенности. Применение правила Лопиталя приносит пользу тогда, когда отношение производных удается преобразовать к более удобному виду легче, чем отношение функций.

                  • 0⋅∞ произведение двух функций, первая стремится к нулю, вторая к бесконечности;
                  • ∞- ∞ разность функций, стремящихся к бесконечности;
                  • 1 ∞ степень, ее основание стремится к единице, а показатель к бесконечности;
                  • ∞ 0 степень, ее основание стремится к бесконечности, а степень к нулю;
                  • 0 0 степень, ее основание стремится к 0 и показатель тоже стремятся к нулю.
                  • Пример 1. В этом примере неопределенность 0/0

                    Пример 2. Здесь ∞/∞

                    В этих примерах производные числителя делим на производные знаменателя и подставляем предельное значение вместо х.

                    Пример 3. Вид неопределенности 0⋅∞ .

                    Неопределенность 0⋅∞ преобразуем к ∞/∞, для этого х переносим в знаменатель в виде дроби 1/x , в числителе пишем производную от числителя, а в знаменателе производную от знаменателя.

                    Пример 4 Вычислить предел функции

                    Здесь неопределенность вида ∞ 0 Сначала логарифмируем функцию, затем найдем от нее предел

                    Для получения ответа надо е возвести в степень -1, получим e -1 .

                    Пример 5. Вычислить предел от если x → 0

                    Решение. Вид неопределенности ∞ -∞ Приведя дробь к общему знаменателю перейдем от ∞-∞ к 0/0. Применим правило Лопиталя, однако снова получим неопределенность 0/0, поэтому п. Л. надо применить второй раз. Решение имеет вид:

                    = = = =
                    = =

                    Пример 6 Решить

                    Решение. Вид неопределенности ∞/∞, раскрыв ее получим

                    = = = 0.

                    В случаях 3), 4), 5) сначала логарифмируют функцию и находят предел логарифма, а затем искомый предел е возводим в полученную степень.

                    Пример 7. Вычислить предел

                    Решение. Здесь вид неопределенности 1 ∞ . Обозначим A =

                    Тогда lnA = = = = 2.

                    Основание логарифма е, поэтому для получения ответа надо е возвести в квадрат, получим e 2 .

                    Иногда бывают случаи, когда отношение функций имеет предел, в отличие от отношения производных, которое не имеет его.

                    Т.к. sinx ограничен, а х неограниченно растет, второй член равен 0.

                    Эта функция не имеет предела, т.к. она постоянно колеблется между 0 и 2, к этому примеру неприменимо п. Л.

                    www.mathelp.spb.ru

                    Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

                    Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

                    Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при xа, причем

                    Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

                    Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

                    Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

                    Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

                    Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

                    Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

                  • .
                  • .
                  • .
                  • Обозначим .

                    Прологарифмируем это равенство . Найдем .

                    Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

                    Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

                    Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

                    В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

                    Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

                    Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

                    Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

                    Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

                    Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

                    Учитывая третье условие и то, что

                    ,

                    получим , т.е. .

                    Далее . Значит, , т.е. .

                    Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

                    Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

                    Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

                    Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

                    Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

                    где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

                    Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

                    где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

                    РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

                      Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

                    Таким образом, получаем

                    Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .

                    Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

                    причем остаток

                    Отметим, что для любого x Î R остаточный член

                    Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x

                    Имеем

                    Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать

                    Но , не зависящая от n, а так как q x с любой степенью точности.

                    Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

                    Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

                    Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

                    Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

                    .

                    Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x.

                    Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

                    Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

                    Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

                    f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

                    Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

                    f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

                    Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

                    Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

                    Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

                    При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

                    Можно показать, что при |x| f(x2).

                    Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

                    Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

                    Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

                    Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

                    Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

                    1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
                    2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x10,x1x2>0 Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

                    Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

                    Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

                    Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

                    Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

                    Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)

                    www.toehelp.ru

                    Это интересно:

                    • Расписка в получении денежных средств по договору купли продажи образец Образец расписки за квартиру при продаже и покупке 2018 Расписка при продаже квартиры 2018 Расписку при продаже квартиры пишет продавец жилой недвижимости. РАСПИСКА Город, день, месяц, год прописью Я, _____ (ФИО продавца), _____ (дата) рождения, паспорт гражданина РФ _____ […]
                    • Ульяновск работа юристом Работа Юрист Ульяновск Чтобы устроиться на должность Юрист в г. Ульяновск, часто требуется: Требования: Обязанности: поиск клиентов new_releasesдля юридической организации физические и юридические лица Условия: каждый новый клиент в день подписания договора приносит вам […]
                    • Фмс севастополь реквизиты госпошлина Фмс севастополь реквизиты госпошлина Муниципальное бюджетное учреждение Новоселицкого муниципального района "Многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг" Телефон горячей линии ГКУ СК МФЦ - 8 800 200 40 10 РЕКВИЗИТЫ ДЛЯ ОПЛАТЫ […]
                    • Отзывы электронный полис осаго росгосстрах Страховая компания РОСГОССТРАХ - отзывы Специалисты СК на сайте Положительные отзывы о компании ПОЛИС ЗАКЛЮЧИЛИ С СЕГОДНЯШНЕГО ДНЯ. НА ПОЧТУ ТАК И НЕ ПРИШЕЛ. Уважаемый страхователь! Вы заключили электронный полис ОСАГО. Страховая организация: ПАО СК «Росгосстрах» Серия и […]
                    • Нотариус юбилейный маяковского 2 ЮРИДИЧЕСКАЯ КОНСУЛЬТАЦИЯ БЕСПЛАТНО Мы работаем на рынке юридических услуг более 9 лет. Мы понимаем, что далеко не каждый гражданин России способен оплатить консультацию юриста. Поэтому наша компания одна из первых взялась приводить в действие федеральный закон от […]
                    • Работа на авито челябинск свежие вакансии вахта с проживанием Работа Грузчик Челябинск Чтобы устроиться на должность Грузчик в г. Челябинск, часто требуется: Требуются грузчики на склад на new_releasesпостоянную работу с ежедневными выплатами. Прямой работодатель. Иногородним предоставим жилье. Условия: Оплата каждый день в конце […]
                    • Судебная практика по ст 222 ч 1 ук рф Приговор суда ч. 1 ст. 222 УК РФ | Судебная практика ПриговорИменем Российской Федерации 17 декабря 2015 года гор. Москва Гагаринский районный суд гор Москвы в составе единолично председательствующего Федерального судьи Звягиной Л.А., с участием государственного обвинителя […]
                    • Оправдательный приговор за клевету Оправдательный приговор за клевету П Р И Г О В О Р Именем Российской Федерации 11 октября 2012 года с. Красноармейское Мировой судья судебного участка № 1 Красноармейского района Чувашской Республики Дмитриева Т.А., с участием: частного-обвинителя – потерпевшего – […]