Правила и таблица производных

| | 0 Comment

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

,

Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

www.resolventa.ru

Что такое производная?

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

— понимать суть несложных заданий с производной;

— успешно решать эти самые несложные задания;

— подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли. )

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)’, (x 3 )’, (sinx)’ и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

helpmatan.ru

Таблица производных простых функций

Производные простых функций

Пояснение:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x c )’= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2 )’ = 2x
(x 3 )’ = 3x 2
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = — 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x -1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1 )’ = -1x -2 = — 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x c )’ = — c / x c+1
Пример:
( 1 / x 2 )’ = — 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х -1/2
Пример:
( √x )’ = ( х 1/2 )’ значит можно применить формулу из правила 5
( х 1/2 )’ = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( n √x )’ = 1 / ( n n √x n-1 )
.

profmeter.com.ua

Таблица производных

На данной странице представлена таблица производных функций наиболее часто встречающихся при решении типовых задач для школьников и студентов, изучающих курс высшей математики раздел — дифференциальное исчисление. Данный раздел математического анализа изучает такие понятия как производная, дифференциал, а также способы их применения к исследованию функций. Если вам нужен максимально полный вариант таблицы, то вам поможет справочник.

Таблица производных простых и сложных функций

Представленная таблица состоит из 2-х столбцов, в первом представлены формулы, которые можно использовать для нахождения производных элементарных (основных) функций.

Во втором столбце представлены производные сложных функций. В составленной таблице 1 столбец, содержащий простейшие функции, будет полезен учащимся 10 и 11 классов для занятий по алгебре, а также для подготовки к ЕГЭ по математике.

Для удобства, в скачиваемом варианте таблицы, мы добавили свойства производных и основные правила дифференцирования, то есть то, как правильно нужно брать производные, например, от произведения функций, или от деления. Подробнее о правилах дифференцирования можно узнать в соответствующем разделе сайта. Если вы их освоите, то таблица будет полезна для вычисления частных производных, а также производных второго и более высших порядков. Используя предложенную таблицу для вычисления, вы легко найдете производные тригонометрических функций (синусов и косинусов), гиперболических функций, производную выражения: корень из х, и прочих простых функции.

Скачать таблицу производных

Вы можете скачать данную таблицу в формате doc, docx и pdf :

Скаченный вариант вы можете распечатать и использовать в качестве шпаргалки.

Также вам может пригодиться таблица первообразных для вычисления неопределенных интегралов, которую можно найти тут.

shkolnaiapora.ru

Производные математических функций. Определение, таблица основных производных, правила их вычисления

С правочные материалы по теме «производная». Базовый школьный уровень.
Теоретические сведения для учеников, преподавателей и репетиторов по математике. В помощь к проведению занятий.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:

Правила вычисления производных


Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)


Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).


Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).
Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!


Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.


Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:


Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

Ваши комментарии и отзывы к странице с производными:
Александр С.
Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых. За пояснения и правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще было бы отлично было. Еще раз огромное спасибо.

Колпаков А.Н, репетитор по математике: хорошо, постараюсь в ближайшее время дополнить страницу примерами.

Виртуальный математический справочник.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Очень нужна была таблица. В интернете одна из самых.За пояснения, правила тоже огромное спасибо. Хотя бы по одному примеру ещё к ним и вообще бы отлично было. Ещё раз большое спасибо.

Хороший у вас блог! Удачи в развитии.

Полезный и очень понятный справочник. Спасибо.

Коротко и ясно. Нашел в справочнике именно то, что искал. Продолжайте в том же духе.

Моя благодарность репетитору по математике за дополнительный материал! Полезно и содержательно.

ankolpakov.ru

Это интересно:

  • Федеральный закон 219-фз от 21072014 Федеральный закон от 21.07.2014 № 219-ФЗ «О внесении изменений в Федеральный закон "Об охране окружающей среды" и отдельные законодательные акты Российской Федерации"» Закон вступит в силу 1 января 2015 г., за исключением отдельных положений. www.kaicc.ru Федеральный закон […]
  • Пени за просрочку платежа по закону рф Когда и за что грозит начисление пени за коммунальные услуги в 2018 году Каждый раз, когда приходят квитанции на оплату коммунальных услуг, мы тщательно изучаем, сколько должны заплатить за тепло, свет, воду, мусор, капремонт и прочие блага цивилизации. И если вдруг видим […]
  • Приказ минфина по кбк на 2018 год КБК: Уплата налогов, взносов, сборов Справка КБК 2018: Приказ Минфина России от 01.07.2013 N 65н "Об утверждении Указаний о порядке применения бюджетной классификации Российской Федерации" Начало действия редакции - применяется для проектов бюджетов на 2018 год в […]
  • 85-н приказ Приказ Минфина России от 7 июня 2017 г. № 85н “Об утверждении программы разработки федеральных стандартов бухгалтерского учета на 2017-2019 гг. и о признании утратившим силу приказа Министерства финансов Российской Федерации от 23 мая 2016 г. № 70н «Об утверждении […]
  • Закон 326-фз от 29112010 года О реализации Федерального закона от 29.11.2010 №326-ФЗ «Об обязательном медицинском страховании в Российской Федерации» За I полугодие 2011г. в системе ОМС Ростовской области произошли значительные изменения, связанные с вводом в действие нового Федерального закона от […]
  • Ингушские воры закона Преступные авторитеты Главное в рубрике В оперативных кругах подозревают, что в развале дела «законника» Ахмеда Евлоева по обвинению в хранении наркотиков есть коррупционная составляющая. «Вор в законе» Ахмед Евлоев (он же Дулат Йоуло), известный в криминальном мире под […]
  • Приказ прораб образец Должностные инструкции Инструкции по категориям: Инструкции по алфавиту: Производитель работ (прораб) Должностная инструкция производителя работ (прораба) ( zip, 23 Кб., рейтинг: 3865 ) Вы можете скачать должностную инструкцию производителя работ (прораба) […]
  • Квартира в аренду закон Что требует закон при сдаче жилья в аренду без посредников? Аренда (найм) жилья с каждым годом приобретает все большую популярность. Но для того чтобы обезопасить себя, процедуру сдачи в аренду квартиры нужно провести по букве закона. Итак, сдача жилья в аренду: закон, […]