Частица совершает гармонические по закону

| | 0 Comment

Примеры решения задач. ЗАДАЧА 1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ около положения равновесия х = 0

ЗАДАЧА 1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ около положения равновесия х = 0. Частота колебаний = 4,00с –1 . В некоторый момент времени координата частицы х0= 25,0 см и ее скорость
u0 = 100 cм/c. Найти координату х и скорость частицы u через время t = 2,4 с после этого момента.

АНАЛИЗ. Для решения воспользуемся уравнениями кинематики гармонических колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения частицы, совершающей гармонические колебания, определяется уравнением (1.1.1):

. (1.1.6)

За начало отсчета времени (t = 0) выберем момент, для которого заданы начальные условия: х0 = 25,0 см = 0,250 м,u0= 100 см/с = 1,00 м/с, колеблющейся частицы.

Закон изменения скорости со временем найдем, продифференцировав по времени уравнение (1.1.6):

. (1.1.7)

Уравнения (1.1.6) и (1.1.7) в точке t = 0 с учетом начальных условий имеют вид:

x0= Acos , u0= – A sin .

Получили систему из двух уравнений для определения амплитуды А и начальной фазы . Из них найдем:

, (1.1.8)

. (1.1.9)

Уравнения (1.1.8) и (1.1.9) почленно возведем в квадрат и сложим:

.

Амплитуда колебаний А равна:

м.

Правильность формулы по размерности очевидна.

Разделив выражения (1.1.9) на (1.1.8), найдем тангенс начальной фазы колебаний:

.

Учитывая, что ,определим начальную фазу :

a = 180° – 45° = 135° = 3p/4 = 2,35 рад.

Подставив численные значения А и в уравнения (1.1.6) и (1.1.7), получим:

, м; , м/с.

Найдем искомые значения координаты x1и скорости в момент времени t1= 2,40 c:

ЗАДАЧА 2. Колебательный контур (рис. 1.1.5) состоит из конденсатора емкостью С = 0,025мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,015Гн. Омическим сопротивлением цепи следует пренебречь. Конденсатор заряжен количеством электричества q0= 2,5×10 –6 Кл. Написать для данного контура уравнения изменения: 1) разности потенциалов UC на обкладках конденсатора , 2) падения напряжения UL на катушке индуктивности, 3) силы тока в цепи в зависимости от времени. Найти сдвиг по фазе между напряжением UС на обкладках конденсатора и: а) током I в цепи, б) напряжением UL на катушке индуктивности. Найти уравнение фазовой траектории осциллятора.

АНАЛИЗ. В задаче рассматриваются незатухающие колебания в электрическом колебательном LC контуре при отсутствии омического сопротивления. с частотой .

РЕШЕНИЕ. Заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону (1.1.1):

. (1.1.10)

Сила тока в контуре

. (1.1.11)

Напряжение на катушке индуктивности найдем, используя закон Фарадея и равенство (1.1.11):

. (1.1.12)

Напряжение на обкладках конденсатора с учетом равенства (1.1.10) имеет вид:

. (1.1.13)

Сравнение выражений для заряда (1.1.10) и напряжения UC (1.1.13) показывает, что эти величины изменяются в одной фазе.

Закон изменения силы тока (1.1.11) можно представить в виде

. (1.1.14)

Ток I в контуре опережает по фазе на напряжение UC на обкладках конденсатора. Закон изменения напряжения UL на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.12):

. (1.1.15)

Сравнение уравнения (1.1.13) с (1.1.15) показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе на напряжение на обкладках конденсатора.

Определим численные коэффициенты в уравнениях (1.1.10), (1.1.13), (1.1.14), (1.1.15). Будем считать, что при t = 0заряд на обкладках конденсатора достигает максимального значения: q = A = q0 , тогда из равенства (1.1.10) получим = 0. Закон изменения заряда имеет вид: q = q0сos t, где рад/c.

Закон изменения разности потенциалов UC на обкладках конденсатора (1.1.13) с числовыми коэффициентами:

, В.

Закон изменения со временем силы тока I c числовыми коэффициентами получим из уравнения (1.1.14):

, A.

Закон изменения напряжения UL на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.15):

UL = 2,5×10 –6 ×1,015×6,28 2 ×10 6 cos(2 ×10 3 t+ ) = 100cos(2 ×10 3 t+ ),В.

Напряжения UС на обкладках конденсатора и UL на катушке индуктивности изменяются в противофазе и имеют одинаковые амплитудные значения.

Чтобы получить уравнение фазовой траектории колебательного контура, воспользуемся уравнением (1.1.10) и (1.1.11). Учтем, что колебательный импульс , тогда:

. (1.1.16)

Исключим параметр t из уравнений (1.1.10) и (1.1.16); учитывая, что =0, найдем:

, (1.1.17)

. (1.1.18)

Равенства (1.1.17) и (1.1.18) возведем в квадрат и почленно сложим:

.

Таким образом, фазовая траектория осциллятора представляет собой окружность.

ОТВЕТ: , В; , В; ; ; , A; уравнение фазовой траектории .

ЗАДАЧА 3. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой и амплитудами А1= 5см, А2= 10см и с разностью фаз . Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебаний, происходящих в одном направлении, и имеющих разные амплитуды и разность фаз.

РЕШЕНИЕ. Обозначим смещение от общего положения равновесия для каждого из процессов согласно (1.1.1) соответственно:

Для простоты, начало отсчета в момент времени t0= 0 выберем так, чтобы = 0, тогда . Закон движения точки, участвующий в двух колебательных процессах, определится согласно принципу суперпозиции и уравнениям движения (1.1.19) и (1.1.20):

Поскольку оба колебания – гармонические, имеющие одинаковую частоту wи одинаковое направление, результирующее колебание S (t)тоже является гармоническим и происходит с той же частотой w. Следовательно, закон движения (1.1.21) можно записать в виде

где А – амплитуда результирующего колебания, a – его начальная фаза. Сравнивая уравнения (1.1.21) и (1.1.22), получим:

Уравнение (1.1.23) справедливо для любого момента времени и поэтому является тождеством. Задача состоит в определении неизвестных А и a. Ее можно решить различными методами:

а) аналитическим методом, непосредственно решая это тождество;

б) методом векторного сложения колебаний.

Рассмотрим оба метода. В аналитическом методе используются формулы зависимости между тригонометрическими функциями двух углов. Воспользуемся зависимостью между тригонометрическими функциями двух углов:
cos(a + b)=cosacosb sinasinb, тогда правую и левую части (1.1.23), можно представить в виде:

Полученное уравнение будет тождеством относительно переменной t, если коэффициенты при и sin в левой его части соответственно равны коэффициентам в правой части:

Чтобы найти амплитуду результирующего колебания, возведем (1.1.24) и (1.1.25) почленно в квадрат, а затем сложим:

Следовательно, м. (1.1.26)

Чтобы найти начальную фазу результирующего колебания, разделим (1.1.24) на (1.1.25):

41° = 0,23p. (1.1.27)

При расчете методом векторного сложения колебаний, последние представляются в виде векторов амплитуд и , которые вращаются с угловой скоростью w против часовой стрелки (см. рис. 1.1.4). Вектор амплитуды результирующего колебания равен векторной сумме векторов . Векторное сложение позволяет учесть различие в фазах колебаний (1.1.19) и (1.1.20). Из рис. 1.1.4 следует, что в данной задаче модуль вектора А проще найти, используя теорему косинусов: , т. е. м, что согласуется с результатом (1.1.26).

Угол a наклона вектора к оси ОХ, как следует из диаграммы на рис. 1.1.4, равен 41°, что также согласуется с полученным выше результатом (1.1.27).

Таким образом, результирующий колебательный процесс происходит с частотой wи описывается законом (1.1.22), где А и a определяются из равенств (1.1.26), (1.1.27) – соответственно, т. е. S(t)= 0,13cos(w t + 0,23p) , м.

ОТВЕТ: м; .

ЗАДАЧА 4. Точка одновременно участвует в n гармонических колебаниях одинаковой частоты w, направленных по одной прямой:

; ; ;.

. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить n гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту w. При решении необходимо использовать метод векторного сложения колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения точки, участвующей в п колебаниях, имеет вид:

Начертим соответствующую векторную диаграмму, для определенности считая, что п = 4.

Из рис. 1.1.6. видно, что проекция Ax результирующего вектора на ось ОХ равна алгебраической сумме проекций векторов отдельных колебаний:

. (1.1.29)

Проекция Ау результирующего колебания вектора на ось OY определяется как

. (1.1.30)

Амплитуда результирующего колебания А равна:

. (1.1.31)

Подставим (1.1.29) и (1.1.30) в окончательную формулу (1.1.31), учитывая при этом, что , а .

В результате получим .

Начальная фаза результирующего колебания определится из рис. 1.1.6: .

ОТВЕТ: ; . ЗАДАЧА 5. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание имеет вид: x = Acos2,1tcos50,0t, м, где t измеряется в секундах. Найти частоты складываемых колебаний и период биений.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебания одного направления, имеющих разную круговую частоту w.

РЕШЕНИЕ. Амплитуда рассматриваемого колебания x = Acos2,1cos50,0t изменяется со временем по закону:

. (1.1.32)

При сложении колебаний, происходящих по одному направлению с различными частотами w1 и w2, возникает колебательное движение, называемое биением ( ). Частота пульсаций амплитуды называется частотой биений. Амплитуда – величина существенно положительная. Следовательно, период биений равен промежутку времени, за который аргумент косинуса изменяется на p, т. е. согласно (1.1.32):

2,1ТБ = p, с. (1.1.33)

При сложении колебаний разной частоты x1= A0cosw1t и x2= A0cosw2t, если их амплитуды равны, а ,уравнение результирующего колебания опишется равенством (1.1.5):

,

а его амплитуда согласно (1.1.4) имеет вид: .

Сравним эти выражения с уравнением биений x = Acos2,1cos50,0t. Получим А = 2А0,т. е. ,

, (1.1.34)

. (1.1.35)

Из системы уравнений (1.1.34) и (1.1.35) найдем значения частот

Следовательно, биение x = A0cos2,1tcos50,0t с периодом ТБ= 1,5 свозникло в результате сложения колебаний с амплитудами , и частотами w1= 47,9 рад/с, w2= 52,1 рад/с. Их уравнения с числовыми коэффициентами имеют вид:

; .

ЗАДАЧА 6. На вертикально отклоняющие пластины конденсатора подается напряжение , на горизонтально отклоняющие – напряжение . Определить траекторию луча на экране осциллографа.

АНАЛИЗ. В задаче необходимо произвести сложение двух гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях X и Y. Суммарное колебание будет одной из кривых Лиссажу, изображаемых на экране осциллографа.

РЕШЕНИЕ. Уравнение колебаний для величины напряжения U на пластинах конденсатора в общем виде можно записать, учитывая (1.1.1):

В данной задаче А1= 2В, рад/с, А2= 1В, рад/с, ,

т. е. . Уравнения колебаний с числовыми коэффициентами имеют вид:

(1.1.36)

. (1.1.37)

Амплитуда – величина существенно положительная и наличие знака «минус» в уравнении (1.1.37) определяется начальной фазой a2этого колебания. Воспользовавшись формулой приведения – cospt = cos(pt + p), получим
a2 = p. Напряжение на вертикальных пластинах опережает по фазе на pнапряжение на горизонтальных пластинах.

Чтобы определить траекторию луча на экране осциллографа, необходимо из уравнений (1.1.36) и (1.1.37) исключить параметр t (время). Поскольку по условию задачи , воспользуемся формулой для косинуса половинного угла . Полученное значение подставим в уравнение (1.1.36), найдем , отсюда , .

Подставим полученное выражение в уравнение (1.1.37):

, (1.1.38)

или . (1.1.39)

Уравнение (1.1.39) – это уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОY. Амплитуда колебаний по оси OХ Uх = 2 В, по оси ОY – 1 В. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах , а ординаты .

Для графического построения траектории воспользуемся уравнением (1.1.38) и найдем соответствующие координаты точек.

Парабола на рис. 1.1.7. построена по найденным в табл. 1.1 координатам.

lektsii.com

Частица совершает гармонические колебания. Найти координату и скорость частицы — Колебания и волны

Точка совершает гармонические колебания. Найти круговую частоту колебаний.
Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки .

Маленький шарик совершает гармонические колебания по двум гладким плоскостям
Маленький шарик совершает гармонические колебания с частотой v без трения вниз.

Найти циклическую частоту, амплитуду и начальную фазу результирующего колебания частицы
1)Частицы одновременно учавствуют в двух колебаниях одного направления.

Гармонические колебания
Точка совершает гармонические колебания по закону х = А.cos(wt +φ), где А = 4.

Innocent77, если не сходится, то бывает, именно из-за неправильного решения.
Не стесняйтесь показывать решение и говорить пожалуйста в обращении. Иначе в это всё невозможно поверить.

Теперь из пары этих же уравнений для t=П/8 удастся найти A и потом подставьте в формулы синусоиды и косинусоиды время t=П/8+ 2,4 с и будет вам счастье.

Гармонические колебания
На движущейся со скоростью V тележке,находится груз,при крепленный к ней.

Гармонические колебания
Доброго времени суток. Может кто-то объяснить гармонические колебания? (решение.

Гармонические колебания
Помогите решить задачу точка совершает гармонические которые колебания.

Гармонические колебания
Пожалуйста, помогите решить. Груз массой m = 20 г c совершает гармонические.

www.cyberforum.ru

Это интересно:

  • Авито купля продажа ростов На Avito 200 и 2000 рублей стоят значительно больше номинала Лента новостей Все новости » За купюру номиналом 200 рублей можно заплатить 400, за 2 тысячи — почти три. Но, по словам экспертов, реально заработать на новых купюрах удастся только нашим внукам или правнукам […]
  • Статья 116 судимость Как законно избежать ответственности по статье 116 УК РФ «Побои» Статья 116 УК РФ «Побои» - это одна из самых «мягких» статей во всём Уголовном кодексе Российской Федерации. Уголовные адвокаты компании «Юрист-Эксперт 24» знают способы, как законно избежать наказания и, что […]
  • Обман юристов Юридическая консультация бесплатно, как не быть обманутым? Юридическая консультация: «Спрос рождает предложение». Кейнс Джон Мейнард Каков спрос на юридические консультации? Только по данным «Яндекса» не менее 100 000 человек ежемесячно «забивают» в строке поиска запрос […]
  • Базовые тарифы осаго до 1 октября 2014 После повышения тарифов ОСАГО в октябре 2014 года и в апреле 2015 года средняя стоимость страховых полисов увеличилась более чем на 2 тыс. руб. По итогам II квартала 2015 года средняя стоимость полиса ОСАГО составила 5691 руб. При этом до 1 октября 2014 года этот […]
  • Перевозка без лицензии штраф За перевозку пассажиров легковым такси без разрешения может быть введена административная ответственность Сегодня на рассмотрение Госдумы внесен законопроект, устанавливающий административную ответственность за осуществление предпринимательской деятельности по перевозке […]
  • 209 закон о малом Федеральный закон от 24 июля 2007 г. N 209-ФЗ "О развитии малого и среднего предпринимательства в Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 24 июля 2007 г. N 209-ФЗ"О развитии малого и среднего предпринимательства в Российской Федерации" С […]
  • Правила написания английского письма по егэ Как писать письмо на экзамене по английскому языку Чтобы получить высший балл за письмо на ЕГЭ, составлять его надо по строгому шаблону: Начало текста представляет собой обращение к другу или приветствие, а его конец обозначается завершающей фразой. Минимальный объем […]
  • Единый налог третья группа 2018 Ставка единого налога - 2018 Ставка единого налога - 2018 для предпринимателей-физлиц первой и второй гpупп расcчитывается в процентах oт размера прожиточного минимума и минимальной зарплаты, установлeнных нa 01 января 2018 года (смотрите страницy Минимальная зарплата - […]