Как звучит закон всемирного тяготения

| | 0 Comment

Как звучит закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения был сформулирован Исааком Ньютоном (\(1643-1727\)) и опубликован в \(1687\) году. В соответствии с этим законом, два точечных тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна массам этих тел \(\) и \(\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: \[F = G\frac<<>><<>>.\] Здесь \(r\) − расстояние между данными телами, \(G\) − гравитационная постоянная, значение которой, найденное экспериментальным путем, составляет \(G = 6,67 \times <10^< - 11>>\;\large\frac<<<\text<м>^3>>> <<\text<кг>\cdot <\text<с>^2>>>\normalsize.\)

Сила гравитационного притяжения является центральной силой , т.е. направлена вдоль прямой, проходящей через центры взаимодействующих тел.

В системе двух тел (рисунок \(2\)) на первое тело массой \(\) действует сила притяжения \(<\mathbf_<12>>\) со стороны второго тела. Аналогично на второе тело массой \(\) действует сила притяжения \(<\mathbf_<21>>.\) Обе силы \(<\mathbf_<12>>\) и \(<\mathbf_<21>>\) равны между собой по величине и направлены вдоль \(\mathbf,\) где \[\mathbf = <\mathbf_2> — <\mathbf_1>.\] С учетом \(2\)-го закона Ньютона можно записать следующие дифференциальные уравнения, описывающие движение каждого тела: \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\;\; <\frac<<<\mathbf_2>>><>> = — G\frac<<>><<>>\mathbf> \] или \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\;\; <\frac<<<\mathbf_2>>><>> = — G\frac<<>><<>>\mathbf.> \] Из последних двух уравнений следует, что \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> — \frac<<<\mathbf_2>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf + G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\; <\Rightarrow \frac<<\mathbf>><>> = -G\frac <<+ >><<>>\mathbf.> \] Данное дифференциальное уравнение описывает изменение вектора \(\mathbf\left( t \right),\) т.е. относительное движение двух тел под действем силы гравитационного притяжения.

При большом различии в массах тел можно пренебречь массой меньшего тела в правой части полученного уравнения. Так, например, масса Солнца в \(333000\) раз больше массы Земли. В этом случае дифференциальное уравнение можно записать в более простом виде: \[\frac<<\mathbf>><>> = — G\frac<<>>><<>>\mathbf,\] где \(>\) − масса Солнца.

Движение тела происходит вдоль прямой по направлению к центру Земли. Учитывая, что масса тела значительно меньше массы Земли, дифференциальное уравнение, описывающее его движение, записывается в виде \[\frac<<r>><>> = — G\frac<<>>><<>>,\] где \(>\) − масса Земли.

Это нелинейное уравнение относится к типу \(y» = f\left( y \right)\) и допускает понижение порядка . Учитывая, что \[\frac<<r>><>> = \frac<><

> = \frac<><>\frac<><
> = v\frac<><>,\] уравнение принимает вид: \[v\frac<><> = — G\frac<<>>><<>>.\] Интегрируем его, разделяя переменные, при начальном условии \(v\left( \right) = 0:\) \[ >\frac<><<>>,>\;\; <\Rightarrow \int = — G>\int <\frac<><<>>> ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<>> <2>= \frac<>>> + ,>\;\; <\Rightarrow v = \sqrt <\frac<<2G>>> + > .> \] Учитывая начальное условие, имеем: \[ <0 = \sqrt <\frac<<2G>>> + > ,>\;\; <\Rightarrow = — \frac<<2G>>>,>\;\; <\Rightarrow v = \sqrt <2G>\left( <\frac<1> — \frac<1>> \right)> .> \] В предельном случае при \(L \to \infty\) формула для скорости упрощается: \[v = \sqrt <\frac<<2G>>>> .\] Данное выражение можно переписать через ускорение свободного падения \(g = \large\frac<>>><^2>>\normalsize,\) где \(>\) − радиус Земли. Тогда \[v = \sqrt <\frac<<2G>>>> = \sqrt <\frac<<2gR_\text<З>^2>>> .\] Отсюда получаем, что при движении из бесконечности скорость тела в момент падения на землю будет составлять \[v\left( >> \right) = \sqrt <\frac<<2gR_\text<З>^2>><<>>> = \sqrt <2g>> ,\] то есть будет равна второй космической скорости \(v \approx 10,2\,\large\frac<\text<км>><\text<с>>\normalsize.\)

При конечном значении \(L\) скорость тела в момент падения будет меньше второй космической скорости: \[ >> \right) = \sqrt <2G>\left( <\frac<1><<>>> — \frac<1>> \right)> > = <\sqrt <2gR_\text<З>^2\left( <\frac<1><<>>> — \frac<1>> \right)> > = <\sqrt <2g>\left( <1 - \frac<<>>>> \right)> > = <\sqrt <2g>> \sqrt <1 - \frac<<>>>> .> \] Определим теперь время падения тела на Землю, считая что начальное расстояние до центра Земли равно \(L.\) Поскольку \(\large\frac<><

>\normalsize = — v,\) получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее закон движения тела вдоль радиальной оси: \[ <\frac<><
> = — >\sqrt <2g>\sqrt <\frac<1> — \frac<1>> ,>\;\; <\Rightarrow \frac<><<\sqrt <\frac<1> — \frac<1>> >> = — >\sqrt <2g>dt,> \] где расстояние \(r\) изменяется от \(L\) до \(>.\)

www.math24.ru

Доклад Тема: Закон всемирного тяготения

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

учитель: Тедеева Л.Я.

Тема: Закон всемирного тяготения

1 Законы движения планет – законы Кеплера

2 Закон всемирного тяготения

2.1 Открытие Исаака Ньютона

2.2 Движение тел под действием силы тяжести

3 ИСЗ — Искусственные спутники Земли

Список используемой литературы

Человек, изучая явления, постигает их сущность и открывает законы природы. Так, поднятое над Землей и предоставленное самому себе тело начнет падать. Оно изменяет свою скорость, следовательно, на него действует сила тяжести. Это явление наблюдается повсюду на нашей планете: Земля притягивает к себе все тела, в том числе и нас с вами. Только ли Земля обладает свойством действовать на все тела силой притяжения?

Почти все в Солнечной системе вращается вокруг Солнца. У некоторых планет есть спутники, но и они, совершая свой путь вокруг планеты, вместе с нею движутся вокруг Солнца. Солнце обладает массой, превосходящую массу всего прочего населения Солнечной системы в 750 раз. Благодаря этому Солнце заставляет планеты и все остальное двигаться по орбитам вокруг себя. В космических масштабах масса является главной характеристикой тел, потому что все небесные тела подчиняются закону всемирного тяготения.

Исходя из законов движения планет, установленных И.Кеплером, великий английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727), в ту пору никем еще признанный, открыл закон всемирного тяготения, с помощью которого удалось с большой точностью для того времени рассчитать движение Луны, планет и комет, объяснить приливы и отливы в океане.

Эти законы человек использует не только для более глубокого познания природы (например, для определения масс небесных тел), но и для решения практических задач (космонавтика, астродинамика).

Цель работы: изучить закон всемирного тяготения, показать его практическую значимость, раскрыть понятие взаимодействия тел на примере этого закона.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка используемой литературы.

1 Законы движения планет – законы Кеплера

Чтобы в полной мере оценить весь блеск открытия Закона всемирного тяготения, вернемся к его предыстории. Существует легенда, что гуляя по яблоневому саду в поместье своих родителей, Ньютон увидел луну в дневном небе, и тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения, он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли. Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите – сила тяготения, которая существует между всеми телами.

Итак, когда великие предшественники Ньютона изучали равноускоренное движение тел, падающих на поверхность Земли, они были уверены, что наблюдают явление чисто земной природы — существующее только недалеко от поверхности нашей планеты. Когда другие ученые, изучая движение небесных тел, полагали что в небесных сферах действуют совсем иные законы движения, нежели законы, управляющие движением здесь, на Земле.

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и ранее: о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие. Декарт считал его результатом вихрей в эфире. История науки свидетельствует, что практически все аргументы, касающиеся движения небесных тел, до Ньютона сводились в основном к тому, что небесные тела, будучи совершенными, движутся по круговым орбитам в силу своего совершенства, поскольку окружность — суть идеальная геометрическая фигура.

Таким образом, выражаясь современным языком, считалось, что имеются два типа гравитации, и это представление устойчиво закрепилось в сознании людей того времени. Все считали, что есть земная гравитация, действующая на несовершенной Земле, и есть гравитация небесная, действующая на совершенных небесах. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело, в конечном итоге, к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды. Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

В начале XVII века на основе системы Коперника немецкий астроном И.Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы, используя результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т.Браге.

Первый закон Кеплера (1609): «Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце».

Вытянутость эллипса зависит от скорости движения планеты; от расстояния, на котором находится планета от центра эллипса. Изменение скорости небесного тела приводит к превращению эллиптической орбиты в гиперболическую, двигаясь по которой можно покинуть пределы Солнечной системы.

На рис. 1 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 1 — Эллиптическая орбита планеты массой

m υ2 – гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

3 Искусственные спутники Земли

4 октября 1957 г. — Выведен на орбиту 1-й искусственный спутник Земли

3 ноября 1957 года — запущен 2-й ИСЗ с собакой Лайкой на борту

15 мая 1958 года запущен 3-й ИСЗ с научной аппаратурой

2 января 1959 года запуск космической станции «Луна». Достигнута вторая космическая скорость

12 февраля 1961 года вышла за пределы земного притяжения автоматическая межпланетная станция «Венера-1»

infourok.ru

Закон всемирного тяготения Ньютона

На склоне своих дней Исаак Ньютон рассказал, как это произошло: он гулял по яблоневому саду в поместье своих родителей и вдруг увидел луну в дневном небе. И тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения (см. Законы механики Ньютона), он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли. Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите.

Чтобы в полной мере оценить весь блеск этого прозрения, давайте ненадолго вернемся к его предыстории. Когда великие предшественники Ньютона, в частности Галилей, изучали равноускоренное движение тел, падающих на поверхность Земли, они были уверены, что наблюдают явление чисто земной природы — существующее только недалеко от поверхности нашей планеты. Когда другие ученые, например Иоганн Кеплер (см. Законы Кеплера), изучали движение небесных тел, они полагали что в небесных сферах действуют совсем иные законы движения, нежели законы, управляющие движением здесь, на Земле. История науки свидетельствует, что практически все аргументы, касающиеся движения небесных тел, до Ньютона сводились в основном к тому, что небесные тела, будучи совершенными, движутся по круговым орбитам в силу своего совершенства, поскольку окружность — суть идеальная геометрическая фигура. Таким образом, выражаясь современным языком, считалось, что имеются два типа гравитации, и это представление устойчиво закрепилось в сознании людей того времени. Все считали, что есть земная гравитация, действующая на несовершенной Земле, и есть гравитация небесная, действующая на совершенных небесах.

Прозрение же Ньютона как раз и заключалось в том, что он объединил эти два типа гравитации в своем сознании. С этого исторического момента искусственное и ложное разделение Земли и остальной Вселенной прекратило свое существование.

Результаты ньютоновских расчетов теперь называют законом всемирного тяготения Ньютона. Согласно этому закону между любой парой тел во Вселенной действует сила взаимного притяжения. Как и все физические законы, он облечен в форму математического уравнения. Если M и m — массы двух тел, а D — расстояние между ними, тогда сила F взаимного гравитационного притяжения между ними равна:

где G — гравитационная константа, определяемая экспериментально. В единицах СИ ее значение составляет приблизительно 6,67 × 10 –11 .

Относительно этого закона нужно сделать несколько важных замечаний. Во-первых, его действие в явной форме распространяется на все без исключения физические материальные тела во Вселенной. В частности, сейчас вы и эта книга испытываете равные по величине и противоположные по направлению силы взаимного гравитационного притяжения. Конечно же, эти силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные из современных приборов, — но они реально существуют, и их можно рассчитать. Точно так же вы испытываете взаимное притяжение и с далеким квазаром, удаленным от вас на десятки миллиардов световых лет. Опять же, силы этого притяжения слишком малы, чтобы их инструментально зарегистрировать и измерить.

Второй момент заключается в том, что сила притяжения Земли у ее поверхности в равной мере воздействует на все материальные тела, находящиеся в любой точке земного шара. Прямо сейчас на вас действует сила земного притяжения, рассчитываемая по вышеприведенной формуле, и вы ее реально ощущаете как свой вес. Если вы что-нибудь уроните, оно под действием всё той же силы равноускоренно устремится к земле. Галилею первому удалось экспериментально измерить приблизительную величину ускорения свободного падения (см. Уравнения равноускоренного движения) вблизи поверхности Земли. Это ускорение обозначают буквой g.

Для Галилея g было просто экспериментально измеряемой константой. По Ньютону же ускорение свободного падения можно вычислить, подставив в формулу закона всемирного тяготения массу Земли M и радиус Земли D, помня при этом, что, согласно второму закону механики Ньютона, сила, действующая на тело, равняется его массе, умноженной на ускорение. Тем самым то, что для Галилея было просто предметом измерения, для Ньютона становится предметом математических расчетов или прогнозов.

Наконец, закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер — ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, вы стоите у края отвесной скалы, рядом с вами пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит — и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представьте, что вы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты. Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику — Луне. Так мы поэтапно перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

Остается последний вопрос: правду ли рассказывал на склоне своих дней Ньютон? Действительно ли всё произошло именно так? Никаких документальных свидетельств того, что Ньютон действительно занимался проблемой гравитации в тот период, к которому он сам относит свое открытие, сегодня нет, но документам свойственно теряться. С другой стороны, общеизвестно, что Ньютон был человеком малоприятным и крайне дотошным во всем, что касалось закрепления за ним приоритетов в науке, и это было бы очень в его характере — затемнить истину, если он вдруг почувствовал, что его научному приоритету хоть что-то угрожает. Датируя это открытие 1666-м годом, в то время как реально ученый сформулировал, записал и опубликовал этот закон лишь в 1687 году, Ньютон, с точки зрения приоритета, выгадал для себя преимущество больше чем в два десятка лет.

Я допускаю, что кого-то из историков от моей версии хватит удар, но на самом деле меня этот вопрос мало беспокоит. Как бы то ни было, яблоко Ньютона остается красивой притчей и блестящей метафорой, описывающей непредсказуемость и таинство творческого познания природы человеком. А является ли этот рассказ исторически достоверным — это уже вопрос вторичный.

elementy.ru

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

В старости Ньютон заметил как-то, что если он и сумел добиться в науке важных результатов, то только потому, что стоят на плечах исполинов. В этих словах заключен великий смысл, и именно их мы вынесли в заголовок второй части нашей книги, посвященной истории идей и методов современной астрономии. Преемственность крупных научных открытий — их важнейшее и неотъемлемое свойство. Коперник, Кеплер, Галилей, Ньютон — это единая линия развития астрономической науки.

Ньютон широко известен своими работами в области механики и оптики, он первым разложил солнечный свет в спектр и разработал дифференциальное исчисление, далеко двинул вперед многие разделы математики и физики. И малой доли этих работ за глаза хватило бы, чтобы навеки прославить имя любого ученого. Но Ньютону принадлежит и еще одна заслуга, которая по сути дела затмила все остальные: он сформулировал закон всемирного тяготения.


Исаак Ньютон (1643-1727)

Всю свою жизнь Ньютон руководствовался знаменитым принципом: hypotesis nоn fingo — «гипотез не выдумываю». Этот-то принцип и нашел самое яркое воплощение в формулировке закона всемирного тяготения:

все тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Ньютон открыл закон, управляющий взаимодействием тел, без всякого рассмотрения природы или причин этого взаимодействия: он дал образец решения физической задачи математическими методами.

Закон всемирного тяготения содержит обобщенное математическое выражение некоторой единой физической зависимости, исходя из которой, как следствия, можно объяснить очень широкий круг наблюдаемых в природе фактов. В качестве следствий из закона всемирного тяготения могут быть получены и законы Кеплера.

На склоне лет, сидя в саду за чаем со своими близкими, Ньютон вдруг вспомнил, как много лет назад, в похожей обстановке, падающее на землю яблоко навело его на мысль об общности закона, управляющего и падением яблока, и движением Луны вокруг Земли. Со слов племянницы Ньютона эту историю поведал миру Вольтер, и она стала настолько популярной, что имя Ньютона и закон всемирного тяготения доныне неотделимы от падающего яблока.

Внешне жизнь Ньютона небогата событиями. Она протекала в основном спокойно, мирно и однообразно. Исаак Ньютон родился в Англии, в деревушке Вульсторп, ровно через 100 лет после смерти Коперника в 1643 г.

В 18 лет он поступил учиться в Кембриджский университет, но его занятия были неожиданно прерваны страшной эпидемией чумы, от которой в одном только Лондоне за лето 1665 г, погибла 31 тысяча жителей. Полный новыми знаниями и новыми мыслями студент Ньютон вернулся в Вульсторп и провел в вынужденном «творческом отпуске» около двух лет. Этот «отпуск» имел колоссальное значение для Ньютона, так как именно в это время в его сознании оформилось большинство идей, разработке которых он посвятил всю последующую жизнь. В 1665 — 1667 гг., когда Ньютону не исполнилось еще и 25 лет, он подошел к закону всемирного тяготения.

Ньютон закончил университет, и в последующем занимался научными исследованиями и немного преподаванием, хотя педагогом он был плохим.

Ньютон никогда не был женат, никогда не выезжал за пределы Ангдир. Большую часть времени он обычно бывал погружен либо If опыты, либо в раздумья и вообще казался окружающим рассеянным и молчаливым. Непродолжительное время Ньютон был членом парламента от университета, и предание сохранило анекдот о том, что депутаты услышали его голос лишь один раз, когда он попросил привратника закрыть форточку, чтобы выступающие не простудились.

Уже будучи признанным ученым, в возрасте 53 лет, Ньютон получил пост хранителя, а впоследствии главного директора Монетного двора. Талант Ньютона проявился и в реорганизации монетного дела Англии, которое оказалось поставленным настолько хорошо, что через века стало основой дальнейшей экономической экспансии английского капитализма.

В 1703 г. Ньютон был избран президентом Королевского общества (Название Королевского общества носит английская Академия наук. )и оставался им до конца жизни. В 1705 г. королева пожаловала ему дворянский титул, и он стал именоваться сэром Исааком. Ньютон умер в 1727 г., в возрасте 85 лет, и был похоронен в Вестминстерском аббатстве, национальном английском пантеоне. «Здесь покоится все, что было бренным в Ньютоне» — гласит одна из надписей на его памятнике. В другой надписи процитирована строка из Лукреция: «Разумом он превзошел род людской».

Биографы Ньютона соревновались в придумывании превосходных степеней в оценке его деятельности. Но вряд ли можно оценить ее проще и лучше, чем это сделал сам Ньютон незадолго до смерти: «Не знаю, чем я могу казаться миру, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, развлекающимся тем, что от поры до времени отыскиваю камешек более цветистый, чем обыкновенно, или красивую раковину, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным».

В науке Ньютон, подобно Копернику, объединил разрозненные представления своих предшественников и, опираясь на плечи исполинов, создал общую физическую концепцию, заставив физику на протяжении последующих 300 лет говорить его языком.

Подобно Копернику, Ньютон очень придирчиво относился к результатам своей научной работы. Если исследованиями проблемы тяготения Ньютон занимался в 1665 — 1667 гг., когда ему не исполнилось еще 25 лет, то опубликован закон всемирного тяготения был 20 лет спустя. Книга «Математические начала натуральной философии», принесшая ее автору славу одного из величайших ученых всех времен, вышла в свет лишь в 1687 г., когда Ньютону было уже 45 лет.

Так же как и у Коперника, у Ньютона был свой «добрый гений», молодой, полный энтузиазма помощник, который всеми силами способствовал завершению и публикации труда своего великого соотечественника. Это был блестящий астроном Эдмунд Галлей, известный в астрономии несколькими важными открытиями. В частности, он открыл собственные движения «неподвижных» звезд и периодичность возвращения к Земле кометы, получившей впоследствии его имя.

Человек в высшей степени разносторонний, Галлей был создателем таблиц страхования жизни* редактировал классические тексты и отыскал место высадки в Британии Юлия Цезаря. На 65-м году жизни он был назначен королевским астрономом и не испугался избрать своей первой целью наблюдения Луны в течение 18-летнего цикла движения ее оси. Эти наблюдения он и довел в действительности до конца. Таким был тот, кто убедил Ньютона издать свой труд и взял на себя его редактирование.

Из-за отсутствия у Королевского общества денег Галлей отдал на издание книги Ньютона собственные сбережения. Он был вовсе небогат и получил от Королевского общества в порядке возмещения затрат сначала 50 экземпляров книги «История рыб», а потом еще 20 экземпляров той же книги.

Закон всемирного тяготения нашел признание далеко не сразу, особенно на континенте. История признания этого закона история геодезических измерений размеров Земли. Выводя одно из следствий закона всемирного тяготения, Ньютон рассуждал примерно следующим образом.

Вообразим, что в теле Земли прорыты две глубочайшие шахты, которые доходят до центра Земли и там соединяются (см. рисунок). Одна шахта прорыта строго вдоль оси вращения Земли, а другая, перпендикулярная к ней,- строго в плоскости экватора. Если такие шахты заполнить водой, то она сможет переливаться из одной шахты в другую и в конце концов займет положение, соответствующее фигуре равновесия.

Если бы Земля не вращалась вокруг оси, на воду в шахтах действовали бы совершенно одинаковые силы тяготения, и в обеих шахтах ее уровень установился бы на одинаковом расстоянии от центра. Фигура равновесия имела бы в этом случае форму шара.


Рассуждение Ньютона о фигуре равновесия вращающейся Земли


Схема поясняет принцип определения фигуры Земли из измерений двух дуг меридиана в 1° на разных широтах

Однако Земля не неподвижна, она вращается вокруг своей оси. При этом вода в экваториальной шахте приобретает центростремительное ускорение, За счет этого давление воды на дно в экваториальной шахте меньше, чем в осевой шахте. Понятно, что равновесие наступит лишь в том случае, когда в экваториальной шахте уровень воды повысится.

Таким образом, закончил свои рассуждения Ньютон, Земля, представляющая собой фигуру равновесия, должна иметь утолщение на экваторе или, что то же, быть сплюснутой у полюсов,

Приведенные рассуждения Ньютона показывают, что он впервые рассмотрел поверхность Земли как поверхность фигуры равновесия. При этом он предполагал, что плотность всех частей Земли одинакова, т. е. Земля является телом однородным. Считая Землю состоящей из бесконечного множества отдельных частичек, он, как это следует из закона всемирного тяготения, полагал, что каждая частичка притягивает к себе все остальные и в свою очередь притягивается ими.

Из теоретических расчетов на основе сделанных предпосылок следовало, что расстояние от центра Земли до полюса должно быть на 0,43% (около 28 км) короче расстояния от центра до экватора.

Теоретический вывод Ньютона оспаривался многими его современниками, которые считали, что Земля в целом либо имеет форму правильного шара, либо не сжата, а, напротив, вытянута у полюсов и имеет форму яйца. «Облатум сиве облонтум» — «сжатая или вытянутая».— вот спор, который оказался в центре внимания науки на рубеже XVII и XVIII вв. Решить этот спор могли только геодезисты.

Если Ньютон прав, то сечение Земли по меридиану должно иметь форму эллипса. Конечно, земной эллипс сжат очень немного, гораздо меньше, чем это показано на рисунке. Но для того чтобы лучше понять последующие рассуждения, использован эллипс с сильно преувеличенным сжатием.

Итак, пусть сечение Земли по меридиану имеет, согласно Ньютону, форму эллипса. Тогда дуги, соответствующие разности широт в 1°, в разных частях эллипса уже не будут равны между собой. На рисунке хорошо видно, что для эллипса, сжатого у полюсов, полярная дуга должна быть немного длиннее, чем экваториальная. Если бы Земля имела форму яйца, то сечение по меридиану тоже имело бы форму эллипса, но в этом случае полярная дуга оказалась бы короче экваториальной.

Таким образом, перед геодезистами встала ясно сформулированная задача. Необходимо с максимальной точностью измерить две дуги меридиана: одну на севере, ближе к полюсу, другую на юге, ближе к экватору, после чего сравнить их. В случае, если полярная дуга окажется длиннее экваториальной, прав Ньютон. Если же полярная дуга окажется короче, то, следовательно, Земля имеет форму яйца.

Точные измерения протяженных расстояний по пересеченной местности всегда вызывали большие трудности и не могли выполняться с требуемой точностью. Удачный метод измерения больших расстояний удалось дать примерно за полвека до описываемых событий, в 1614 г., голландскому астроному и математику Снеллиусу, предложившему пользоваться для этой цели цепочками треугольников. Слово «треугольник» звучит по-латыни как «триангулум», а поэтому метод. Снеллиуса получил название триангуляции.

Математические основы триангуляции крайне просты. Всякий плоский треугольник, как известно, состоит из шести элементов: трех сторон и трех углов. Если в треугольнике даны одна сторона и два угла, то такой треугольник можно «решить», т. е. исходя из известных элементов с помощью определенных формул вычислить величины неизвестных элементов. То же самое относится и к так называемым сферическим треугольникам, т. е. треугольникам, построенным на поверхности шара. Отсюда нетрудно понять существо метода триангуляции.

Пусть необходимо измерить расстояние между флажками, поставленными в точках А и Б (см. рисунок). Чтобы выполнить такое измерение непосредственно, потребовалось бы снести значительную часть домов, вырубить в лесу просеку, засыпать овраг и построить мост через реку. Стоимость всех этих работ выразится огромным числом. На их выполнение уйдет немало времени.


Использование метода триангуляции для измерения больших расстояний на пересеченной местности с естественными преградами


Использование метода триангуляции для измерения больших расстояний на пересеченной местности с естественными преградами


Использование метода триангуляции для измерения больших расстояний на пересеченной местности с естественными преградами


Использование метода триангуляции для измерения больших расстояний на пересеченной местности с естественными преградами

Использование метода триангуляции для измерения больших расстояний на пересеченной местности с естественными преградами.

Применение метода триангуляции позволяет обойти эти трудности. Поставим на дороге в точке В еще один флажок и измерим с максимально возможной точностью линию АВ. Дорога на этом участке прямая, ровная, и поэтому измерение может быть выполнено легко. Назовем измеренную линию базисом.

Обследовав местность, отметим флажком еще одну точку Г так, чтобы с нее были хорошо видны флажки в точках А, Б и В. Теперь пункты А, В и Г образуют на поверхности Земли треугольник, в котором сторона АВ известна. Остается измерить два угла, например в точках В и Г, после чего, решив треугольник, можно получить длины сторон АГ и ВГ и величину угла в точке Л. Получив длину стороны ВГ, будем действовать дальше и измерим в точках В и Г два угла треугольника ВГБ. Зная 1 длину стороны ВГ и значения углов в точках В и Г, отмеченные на рисунке двойной дужкой, вычислим длины сторон ВБ и ГБ и величину угла в точке Б. Таким образом, на поверхности Земли будут построены два треугольника АВГ и ВГБ, в которых известны все углы и все стороны. Теперь вычислим искомое расстояние АБ, и поставленная задача разрешена.

Основное достоинство триангуляции заключается в том, что она сокращает до минимума дорогостоящие и исключительно трудоемкие линейные измерения. Они сводятся лишь к определению длины базиса, причем базис может быть выбран там, где его легче всего измерить. Наибольший объем работ в триангуляции составляют не линейные, а угловые измерения, выполнение которых сопряжено с гораздо меньшими трудностями. Для угловых измерений не имеет существенного значения, течет ли между пунктами река, растет ли кустарник или расположен глубокий овраг. Важно только, чтобы из одного пункта можно было беспрепятственно видеть другой. А этого, как правило, всегда можно добиться, если заранее намечать пункты на основе подробного знакомства с местностью.

Цепочки, состоящие из многих треугольников, позволяют с очень высокой точностью измерять на поверхности Земли расстояния в сотни и тысячи километров. В вершинах треугольников теперь строят специальные геодезические знаки-вышки, благодаря которым стороны каждого из измеряемых треугольников могут достигать 20 — 30 км. В прежнее же время в качестве пунктов триангуляции использовались крепостные башни, колокольни и другие стоящие на высоких местах заметные сооружения.

Под руководством директора Парижской обсерватории Джованни Доменпко Кассини большие триангуляционные работы еще при жизни Ньютона выполнялись во Франции вдоль Парижского меридиана. Но эти измерения, затянувшиеся на долгие годы, так и не разрешили ожесточенного спора о форме нашей планеты. Кассини до самой смерти оставался яростным противником «сплюснутой» Земли. Той же ошибочной точки зрения придерживался и унаследовавший пост директора Парижской обсерватории Кассини-сын.

Окончательно вопрос о форме Земли был решен только в результате триангуляционных измерений двух дуг, расположенных в таких местах, где разность длин одного градуса меридиана наиболее заметна: одной — вблизи экватора и другой — по возможности близкой к полюсу.

Весной 1735 г. парусный фрегат, на борту которого находились французские академики Бугер, Кондамин, Годен и их помощники, взял курс на Перу. А через год, в 1736 г., Францию покидали академики Мопертюи, Клеро, Камюз, Лемонье и шведский физик Цельсий. Их путь лежал на север в далекую, занесенную снегом Лапландию. Там, на границе Швеции и Финляндии, в долине реки Торнео должна была измеряться северная дута.

Подробное описание работы этих двух экспедиции, навсегда вошедших в историю науки, читается как захватывающая повесть. Нестерпимая жара перуанских Кордильер, тропические ливни, лихорадка и нападения индейцев — вот с чем столкнулась экспедиция Бугера. Непроходимые болота, сырой промозглый туман и лютая стужа выпали на долю экспедиции Мопертюи.

Первой закончила свою работу северная экспедиция. И уже сравнения ее результатов с результатами прежних измерений на территории Франции оказалось достаточным, чтобы доказать реальность сжатия Земли у полюсов.

Вернувшийся в Париж в меховой, невиданной французами лапландской шапке Мопертюи был принят как национальный герой. Это был тот самый человек, который, по выражению Вольтера, «приплюснул Землю и всех Кассини». В честь Мопертюи была выбита золотая медаль, на которой он изображен в этой шапке, закутанный в меха, с палицей Геркулеса в одной руке и сплюснутой Землей в другой.

Впрочем, вскоре, поссорившись с Мопертюи, тот же острослов Вольтер не преминул кольнуть его язвительной эпиграммой:

Полувековой труд французских академиков окончательно доказал, что форма Земли, согласно Ньютону, соответствует фигуре, которая получается путем вращения эллипса вокруг его малой оси. Такая фигура называется в геометрии эллипсоидом вращения, или же просто двухосным эллипсоидом.

По результатам французских измерений можно было заключить, что в среднем полярная полуось Земли на 25 км короче экваториальной.

Сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения оказал огромное влияние не только на развитие физики, но и на развитие астрономии. Изучение движения небесных тел на основе закона всемирного тяготения и законов классической механики стало особой ветвью астрономической науки — небесной механикой. Словно бы оправдываясь за излишнюю полемическую горячность своих предшественников, не признававших закона всемирного тяготения, новое поколение французских ученых внесло неоценимый вклад в небесномеханические исследования. Важных результатов в теоретическом анализе движений планет и комет добились французы Клеро, Даламбер и Лагранж. Большим успехом небесной механики стало удачное предсказание момента возвращения к Земле периодической кометы Галлея.

Французы не были одиноки в развитии этой области астрономии. Российский академик Леонард Эйлер подвел итоги в задаче об определении положений Луны, детально разработав новую точную теорию движения этого небесного тела. Эйлер, крупнейший математик и механик своего времени, обогатил небесную механику многими новыми математическими приемами. Способствовал развитию небесной механики и великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.

Фундамент небесной механики в том виде, как она теперь существует, был окончательно завершен в самом начале XIX в. в работах современника и участника Великой французской революции Пьера Симона Лапласа.

12apr.su

Это интересно:

  • Диссертация правила оформления литературы Как защитить диссертацию Правила оформления диссертации Текст диссертации должен быть напечатан на бумаге формата А4 на одной стороне листа через 1,5 межстрочных интервала, шрифт – Times New Roman, размер шрифта — 12–14 пунктов; поля (мм): верхнее – 20, нижнее – 20, […]
  • Как оформить контрольную в институте Требования по оформлению контрольных работ ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ 1.Работа выполняется печатным способом с использованием компьютера и принтера на одной стороне листа формата А4 через полтора (1,5) интервала. Тип шрифта (гарнитура) - Times New […]
  • Как оформить доклад в школу Как оформить титульный лист к работе ученика или учителя? Обычно титульный лист разработки, реферата, доклада, портфолио и т.п. содержит (сверху вниз): Вот такие несложные правила оформления титульного листа для вашей работы. Но к оформлению страницы и шрифта также […]
  • Возможность иметь права и обязанности в сфере государственного управления Возможность иметь права и обязанности в сфере государственного управления Тема 5. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВОЙ СТАТУС ГРАЖДАНИНА 5.1. Понятие, элементы, правовая основа и виды административно-правового статуса гражданина Человек, его права и свободы являются высшей ценностью. […]
  • Производственная практика юриста в полиции дневник Дневник производственной (преддипломной) практики в отделе по расследованию преступлений против собственности следственного управления УМВД России по Забайкальскому краю , страница 2 Краткое содержание выполненных работ Ознакомление с правовой базой деятельности […]
  • Какой процент налога при усн УСН «Доходы минус расходы» в 2018 году: как отчитываться и сколько платить УСН «Доходы минус расходы» — вид упрощённой системы налогообложения, который чаще используют для торговли. В отличие от УСН «Доходы» при расчёте налога учитываются расходы бизнеса, это выгодно при […]
  • Налоги с дивидендов в рк Налоги с дивидендов в рк старший преподаватель ВКГТУ, сертифицированный бухгалтер-практик (САР) В этой статье рассмотрен порядок налогообложения дивидендов в различных ситуациях, а также порядок отражения их в Декларации по КПН. Подпунктом 6 пункта 1 статьи 10 Налогового […]
  • Правило написания доклада Правило написания доклада Формат – rtf, doc, (odt) Текст доклада должен быть подготовлен с использованием шрифта Times New Roman. Объем доклада не должен превышать 5 страниц A4 (210 мм x 297 мм, левое поле 21 мм, верхнее поле 20 мм, правое поле 21 мм, нижнее поле 20 […]