Правило треугольников теорема

| | 0 Comment

Признаки равенства и подобия треугольников

Признаки равенства треугольников

Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.

Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

www.fmclass.ru

Datalife Engine Demo

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

vysshaya-matematika.ru

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (подробнее).

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.

Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА?

Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В).

Пример 4. На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.

Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м.

wiki.eduvdom.com

3. Признаки равенства треугольников. Правила

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек,
не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Если треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 можно совместить наложением,
то они являются равными. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы.

Первый признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны две стороны и угол между ними.

Второй признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними.

Третий признак равенства треугольников:
треугольники равны, если у них равны три стороны.

Задачи на тему «Признаки равенства треугольников»

Выберите признак равенства треугольников .

2) Треугольники AOB и COD равны по 2-му признаку;

3) Треугольники AOB и COD равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Выберите признак равенства треугольников .

1) Треугольники ABC и ADC равны по 1-му признаку;

2) Треугольники ABC и ADC равны по 2-му признаку;

3) Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Выберите признак равенства треугольников,
если точка О центр окружноcти .

1) Треугольники AOB и COD равны по 1-му признаку;

3) Треугольники AOB и COD равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Выберите признак равенства треугольников,
если точка О центр окружноcти .

1) Треугольники AOB и COB равны по 1-му признаку;

2) Треугольники AOB и COB равны по 2-му признаку;

3) Треугольники AOB и COB равны по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Выберите признак равенства треугольников,
если ABCD прямоугольник .

1) Треугольники ADE и BCK равны по 1-му признаку;

2) Треугольники ADE и BCK равны по 2-му признаку;

3) Треугольники ADE и BCK равны по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О так, что AO = OB , CO = OD .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников AOC и BOD .

1) AOC = BOD по 1-му признаку;

2) AOC = BOD по 2-му признаку;

3) AOC = BOD по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Дан прямоугольник ABCD . Выберите признак, по которому
доказывается равенство треугольников ABD и BCD .

1) ABD = BCD по 1-му признаку;

2) ABD = BCD по 2-му признаку;

3) ABD = BCD по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. В четырехугольнике ABCD проведена диагональ AC ,
причем BCA = DCA , а BAC = DAC .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников ABC и ADC .

1) ABC = ADC по 1-му признаку;

2) ABC = ADC по 2-му признаку;

3) ABC = ADC по 3-му признаку. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О так, что AO = CO , BO = DO .
Выберите признак, по которому доказывается равенство треугольников AOD и COB .

1) AOD = COB по 1-му признаку;

2) AOD = COB по 2-му признаку;

3) AOD = COB по 3-му признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно. Неверно.

Дан четырехугольник ABCD , у которого равны противоположные стороны,
AB = CD и BC = AD.

Выберите угол равный BCA = DCA ; BAC ; DAC . Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Выберите угол равный DCA = BCA ; BAC ; DAC. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. ABC = CDA

по первому признаку ; по второму признаку ; по третьему признаку. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено.

Дано: NO = KO , BK = BN .
Доказать: AB = BC .

Докажем равенство: NBC = KBA (по 1-му признаку);

Докажем равенство: NOA = KOC (по 2-му признаку);

Соединим точки B и O. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Дано: NO = KO , BK = BN .
Доказать: AB = BC .

Докажем равенство: NBO = KBO (по 2-му признаку);

Докажем равенство: NBO = KBO (по 3-му признаку);

Докажем равенство: ABO = CBO (по 3-му признаку). Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Дано: NO = KO , BK = BN .
Доказать: AB = BC .

Докажем равенство: ABK = CBN (по 1-му признаку);

Докажем равенство: ABK = CBN (по 2-му признаку);

Докажем равенство: ABK = CBN (по 3-му признаку). Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo.

ABK = CBN => AB = BC.

school-assistant.ru

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.

Меню

Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете.

Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике..

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

(по числу равных сторон)

Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).

Рассмотрим рис. ниже.

Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.

Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ

(а+с+b) — периметр треугольника.

Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)

Сумма углов треугольника равна 180 ° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).

Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Конгруэнтные треугольники = равные треугольники.

Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

1. Гипотенуза и острый угол.
2. Катет и противолежащий угол.
3. Катет и прилежащий угол.
4. Два катета.
5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.

Признаки подобия треугольников:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
  • Свойства подобных треугольников.

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  • Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
  • Подобие в прямоугольных треугольниках.

    Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

    1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.

    2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

    Теорема Пифагора.

    В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC 2 =AB 2 +AC 2 см. рис. выше.

    Теоремы синусов и косинусов.

    Теорема синусов.

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

    Теорема косинусов.

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

    Основные линии треугольника.

    Медиана.

    Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

    Свойства медиан треугольника.

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.
  • Биссектриса

    Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

    Свойства биссектрисы угла треугольника

    1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на рис. выше AE:CE = AB:BC
    2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
    3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
    4. Высота треугольника

      Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

      Свойства высот треугольника

    5. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
    6. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
    7. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
    8. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
    9. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
    10. Срединный перпендикуляр

      Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

      В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

      Свойства срединных перпендикуляров треугольника.

      1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

      2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

      Средняя линия

      Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

      Свойство средней линии треугольника

      Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

      Формулы площади треугольника

      1.Произвольный треугольник — формулы площади

      a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

      1. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте.
      2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
      3. — по длинам сторон — формула площади Герона
      4. S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности
      5. S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности
      6. Прямоугольный треугольник — площадь

        a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.

        tehtab.ru

        Это интересно:

        • Правила выбора шкафа купе Как выбрать шкаф-купе и на что обращать внимание. Предлагаем ознакомиться со списком вопросов, которые возникают наиболее часто при выборе шкафа купе: часто задаваемые вопросы. Наши покупатели имеют возможность оставить вопрос в Книге вопросов и ответов. Тут тоже можно […]
        • Зарплата юриста киев Зарплата юриста киев В украинских неюридических компаниях зарплата юристов за последний год почти не изменилась — показывает статистика консалтинговой компании Staff Service. Вера Тамко, руководитель направления подбора персонала Staff Service, объясняет это тем, что […]
        • Налоги на физических лиц в швеции Налоги в Швеции и перспективы развития бизнеса Прежде чем отправиться в Швецию в качестве бизнес-эмигранта, нелишним будет узнать больше о налоговой системе страны. Налоги в Швеции – это сложная, и, как сказали бы наши соотечественники, мудрёная система. Некоторых она […]
        • Прямое указание закона Каким бывает указание закона: (определения приводятся в именительном падеже) Делаем Карту слов лучше вместе Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю как устроен ваш мир. Помоги […]
        • Как оформить заграничный паспорт срочно Срочное оформление и получение загранпаспорта Никто не застрахован от ситуации, когда резко возникает необходимость быстро оформить загранпаспорт в Москве или любом другом российском городе. Что делать? Куда обращаться? И во сколько обойдётся подобная услуга? Необходимо […]
        • Юристы старая купавна Юридический центр Юридические консультации. Услуги адвокатов и юристов. Представительство в суде. Москва и Московская область Старая Купавна — Юридическая консультация, Адвокат, Юрист Старая-Купавна- Юридическая консультация, Адвокат, Юрист Юридический центр «ПРАВОВЕД-РФ» […]
        • Правило площадь прямоугольника Площадь фигур Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут. Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны. Площадь квадрата Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя. SEKFM = EK · […]
        • Возврат мистраль Франция вернула России деньги за "Мистрали" Затянувшаяся история с непоставкой России заказанных ею во Франции вертолетоносцев типа "Мистраль", похоже, близка к своему завершению. Как стало известно вечером в среду, президенты России и Франции Владимир Путин и Франсуа […]