Логарифмы основные правила

| | 0 Comment

Свойства логарифмов, формулировки и доказательства.

Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.

Навигация по странице.

Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

  1. Свойство логарифма единицы: loga1=0 для любого a>0 , a≠1 .
  2. Логарифм числа, равного основанию: logaa=1 при a>0 , a≠1 .
  3. Свойство логарифма степени основания: logaa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число.
  4. Логарифм произведения двух положительных чисел: loga(x·y)=logax+logay , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    и свойство логарифма произведения n положительных чисел: loga(x1·x2·…·xn)= logax1+logax2+…+logaxn , a>0 , a≠1 , x1>0, x2>0, …, xn>0 .
  5. Свойство логарифма частного: , где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
  6. Логарифм степени числа: logab p =p·loga|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

  • Следствие: , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
  • Следствие 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • Следствие 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p и q – действительные числа, q≠0 , в частности при b=a имеем .
  • Формулировки и доказательства свойств

    Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

    Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, loga1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство loga1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log31=0 , lg1=0 и .

    Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, logaa=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма logaa=1 .

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log55=1 , log5,65,6 и lne=1 .

    Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида logaa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

    К примеру, log22 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

    Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: loga(x·y)=logax+logay , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a logax+logay =a logax ·a logay , а так как по основному логарифмическому тождеству a logax =x и a logay =y , то a logax ·a logay =x·y . Таким образом, a logax+logay =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2·3)=log52+log53 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x1, x2, …, xn как loga(x1·x2·…·xn)= logax1+logax2+…+logaxn . Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

    Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

    Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: logab p =p·loga|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

    Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a logab , тогда b p =(a logab ) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·logab . Так мы приходим к равенству b p =a p·logab , из которого по определению логарифма заключаем, что logab p =p·logab .

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение logab p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a loga|b| ) p =a p·loga|b| , откуда logab p =p·loga|b| .

    Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

    Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства logcb=logab·logca . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a logab , тогда logcb=logca logab . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: logca logab =logab·logca . Так доказано равенство logcb=logab·logca , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что logab и logba – взаимно обратные числа. К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

    Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a1>1 , a2>1 и a12 и при 0 1 справедливо loga1b≤loga2b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что logba1≤logba2 и logba1≥logba2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b logba1 ≥b logba2 и b logba1 ≥b logba2 , то есть, a1≥a2 . Так мы пришли к противоречию условию a12 . На этом доказательство завершено.

    www.cleverstudents.ru

    Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание).

    Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

    Из данной формулировки следует, что вычисление x=logab, равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log28 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.

    С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами.

    Сложение и вычитание логарифмов.

    Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

    Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

    Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

    Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

    Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

    Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

    Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

    так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).

    Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество:

    Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,

    А значит имеет место равенство:

    Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

    www.calc.ru

    Логарифмы основные правила

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень. »
    И для тех, кто «очень даже. » )

    Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

    Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

    1. Поймете, что такое логарифм.

    2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

    3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

    Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень.

    Чувствую, сомневаетесь вы. Ну ладно, засекайте время! Поехали!

    Для начала решите в уме вот такое уравнение:

    3 x = 9

    Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали — не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате — это девять.

    А теперь решите почти то же самое:

    3 x = 8

    Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!

    Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

    Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (3 1 = 3) и двойкой (3 2 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?

    Вернёмся к нашему загадочному примеру:

    3 x = 8.

    х — это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

    Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

    Читаем ещё раз: «икс равен логарифму восьми по основанию три».

    Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно — оно, обычно, внизу бывает.

    И это правильный ответ!

    Мы решили крутое показательное уравнение 3 x = 8!

    И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!

    Как решить пример:

    5 x = 12 ?

    Легко! х — это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:

    2 x =135 ?

    19 x = 0,352 ?

    Это все верные ответы! Приятно, правда?

    Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: «как доехать до вокзала?» И нам честно и правильно ответили: «На автобусе, который идёт до вокзала!» В жизни толку с такого ответа мало.

    А в математике — пожалуйста!

    На вопрос: чему равен х в уравнении

    3 x = 8 ?

    Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:

    Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас. Я покажу вам это конкретное число:

    Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно.

    Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ — посчитает на калькуляторе.

    Так, что такое логарифм — осознали, и решать целый класс показательных уравнений — научились.

    Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

    И чему же равен log24?

    Переводим с математического на русский: log24 — это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

    Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:

    А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

    Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:

    Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.

    Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо. Не только здесь.

    Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?

    Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная — это ограничения.

    До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

    Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

    Вспомним: а — это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

    Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени — единица. Как-то оно не очень. Как ни меняй с, а а и b единичками останутся. Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа — капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя. Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

    В результате получилось:

    а > 0; a ≠ 1

    А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим. получим. Да! Положительное число и получим. Отсюда:

    Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.

    При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств — это настолько важно, что я здесь про ограничения сказал, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!

    Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.

    Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается — неизвестно.

    Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

    Основание 10 не пишется, буква «о» пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

    Логарифмы по основанию «е» называются натуральными. Хотя чего уж там натурального.

    Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

    Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение «Решение логарифмов» предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.

    Запишем знакомое нам выражение:

    Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

    А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

    Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

    И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

    Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

    Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.

    Чему равняется выражение:

    В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:

    Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:

    Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.

    Свойства логарифмов.

    Такой вот джентльменский набор. Много? Да нет. Первые три — понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать железно. Причем слева направо и справа налево. Особо отмечу последнюю формулу. Это формула перехода к новому основанию логарифма. Ленятся ее, почему-то, запоминать. А в ЕГЭ, бывает, только она и спасает. Мы с ней дружить будем.

    Обратите внимание — действия с логарифмами (формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.

    Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!

    Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?

    Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы — свойства и выбираем подходящую. Это четвёртая формула, только справа налево. Подумаешь! Сообразим как-нибудь.

    Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения к чудному числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея математики вообще!) — использование правил, свойств для преобразования плохих выражений (я про математику!) в хорошие.

    Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:

    Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.

    Решилось? Неплохо! А ещё?

    Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?

    Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.

    И это получилось? Блеск! Ну что ж, думаю, что решение логарифмов — не самое слабое Ваше место! Можете заглянуть в Раздел 555. Особый. Есть там примерчик для Вас, на десерт. На третьем уровне.

    Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!

    Если Вам нравится этот сайт.

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

    www.egesdam.ru

    Это интересно:

    • Юристы старая купавна Юридический центр Юридические консультации. Услуги адвокатов и юристов. Представительство в суде. Москва и Московская область Старая Купавна — Юридическая консультация, Адвокат, Юрист Старая-Купавна- Юридическая консультация, Адвокат, Юрист Юридический центр «ПРАВОВЕД-РФ» […]
    • Договор купли-продажи квартиры на несовершеннолетнего ребенка Особенности договора купли-продажи квартиры с участием несовершеннолетних детей: образец документа Как правило продажа квартиры осуществляется через договор купли-продажи, заключаемый сторонами, одна из которых выступает продавцом, другая покупателем. Основная особенность […]
    • Правила по лыжному двоеборью Лыжное двоеборье: описание спорта, экипировка, результаты и чемпионы Лыжное двоеборье — это олимпийская разновидность состязаний, состоящая из лыжных гонок и прыжков с трамплина. Данный спорт входит в Международную федерацию лыжных гонок. Миксованное состязание подходит […]
    • Какая пенсия у ветеранов мвд Пенсия ветеранам боевых действий: надбавки к ежемесячным выплатам Доплата к пенсии, предусмотренная ветеранам боевых действий в 2018 году, возможна только при получении подтверждения указанного статуса. Регилируется перечень лиц ФЗ «О ветеранах» Ст.3 — «Ветераны боевых […]
    • Образец заполнения заявления по форме 2-2 учет Правила заполнения заявления на получение ИНН физическому лицу Сам процесс получения ИНН (идентификационного номера налогоплательщика) для физического лица сегодня максимально облегчен. Эта бесплатная процедура требует от гражданина предоставить паспорт, документ о […]
    • Правила написание имён Написание имён существительных слитно и через дефис В русском языке используется множество сложных имен существительных, написание которых может вызвать сомнения. Правила, регулирующие написание этой части речи слитно или через дефис, следующие: Через дефис пишутся […]
    • Детские пособия в крыму 2018 Какие детские пособия предусмотрены в РФ в 2018 году Материальная сторона воспитания детей волнует, без исключения, каждую семью. Денежные траты на детишек начинаются еще на этапе беременности. И все это вытекает в приличную сумму. Финансовая помощь оказывается приоритетно […]
    • Штрафы гибдд узнать задолженность по постановлению ​Узнать о задолженности по штрафам ГИБДД онлайн: по фамилии и номеру машины Есть ли способ проверить и штрафы на автомобиле зная лишь фамилию владельца и госномер? Узнать и оплатить штрафы ГИБДД можно большим количеством способов. Однако стоить помнить, что в зависимости […]