Распределение данных по закону пуассона

| | 0 Comment

Распределение данных по закону пуассона

Менеджерами не рождаются, менеджерами становятся

Распределение Пуассона

Ранее мы рассмотрели два типа дискретных числовых распределений: биномиальное и гипергеометрическое. Во многих практически важных приложениях большую роль играет распределение Пуассона. Многие из числовых дискретных величин являются реализациями пуассоновского процесса, обладающего следующими свойствами:[1]

  • Нас интересует, сколько раз происходит некое событие в заданной области возможных исходов случайного эксперимента. Область возможных исходов может представлять собой интервал времени, отрезок, поверхность и т.п.
  • Вероятность данного события одинакова для всех областей возможных исходов.
  • Количество событий, происходящих в одной области возможных исходов, не зависит от количества событий, происходящих в других областях.
  • Вероятность того, что в одной и той же области возможных исходов данное событие происходит больше одного раза, стремится к нулю по мере уменьшения области возможных исходов.
  • Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

    Чтобы глубже понять смысл пуассоновского процесса, предположим, что мы исследуем количество клиентов, посещающих отделение банка, расположенное в центральном деловом районе, во время ланча, т.е. с 12 до 13 часов. Предположим, требуется определить количество клиентов, приходящих за одну минуту. Обладает ли эта ситуация особенностями, перечисленными выше? Во-первых, событие, которое нас интересует, представляет собой приход клиента, а область возможных исходов — одноминутный интервал. Сколько клиентов придет в банк за минуту — ни одного, один, два или больше? Во-вторых, разумно предположить, что вероятность прихода клиента на протяжении минуты одинакова для всех одноминутных интервалов. В-третьих, приход одного клиента в течение любого одноминутного интервала не зависит от прихода любого другого клиента в течение любого другого одноминутного интервала. И, наконец, вероятность того, что в банк придет больше одного клиента стремится к нулю, если временной интервал стремится к нулю, например, становится меньше 0,1 с. Итак, количество клиентов, приходящих в банк во время ланча в течение одной минуты, описывается распределением Пуассона.

    Распределение Пуассона имеет один параметр, обозначаемый символом λ (греческая буква «лямбда») – среднее количество успешных испытаний в заданной области возможных исходов. Дисперсия распределения Пуассона также равна λ, а его стандартное отклонение равно . Количество успешных испытаний Х пуассоновской случайной величины изменяется от 0 до бесконечности. Распределение Пуассона описывается формулой:

    где Р(Х) — вероятность X успешных испытаний, λ — ожидаемое количество успехов, е— основание натурального логарифма, равное 2,71828, X— количество успехов в единицу времени.

    Вернемся к нашему примеру. Допустим, что в течение обеденного перерыва в среднем в банк приходят три клиента в минуту. Какова вероятность того, что в данную минуту в банк придут два клиента? А чему равна вероятность того, что в банк придут более двух клиентов?

    Применим формулу (1) с параметром λ = 3. Тогда вероятность того, что в течение данной минуты в банк придут два клиента, равна

    Вероятность того, что в банк придут более двух клиентов, равна Р(Х > 2) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) + … + Р(Х = ∞) . Поскольку сумма всех вероятностей должна быть равной 1, члены ряда, стоящего в правой части формулы, представляют собой вероятность дополнения к событию Х≤ 2. Иначе говоря, сумма этого ряда равна 1 – Р(Х ≤ 2). Таким образом, Р(Х> 2) = 1 – Р(Х≤2) = 1 – [Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2)]. Теперь, используя формулу (1), получаем:

    Таким образом, вероятность того, что в банк в течение минуты придут не больше двух клиентов, равна 0,423 (или 42,3%), а вероятность того, что в банк в течение минуты придут больше двух клиентов, равна 0,577 (или 57,7%).

    Такие вычисления могут показаться утомительными, особенно если параметр λ достаточно велик. Чтобы избежать сложных вычислений, многие пуассоновские вероятности можно найти в специальных таблицах (рис. 1). Например, вероятность того, что в заданную минуту в банк придут два клиента, если в среднем в банк приходят три клиента в минуту, находится на пересечении строки X = 2 и столбца λ = 3. Таким образом, она равна 0,2240 или 22,4%.

    Рис. 1. Пуассоновская вероятность при λ = 3

    Сейчас вряд ли кто-то будет пользоваться таблицами, если под рукой есть Excel с его функцией =ПУАССОН.РАСП() (рис. 2). Эта функция имеет три параметра: число успешных испытаний Х, среднее ожидаемое количество успешных испытаний λ, параметр Интегральная, принимающий два значения: ЛОЖЬ – в этом случае вычисляется вероятность числа успешных испытаний Х (только Х), ИСТИНА – в этом случае вычисляется вероятность числа успешных испытаний от 0 до Х.

    Рис. 2. Расчет в Excel вероятностей распределения Пуассона при λ = 3

    Аппроксимация биноминального распределения с помощью распределения Пуассона

    Если число n велико, а число р — мало, биномиальное распределение можно аппроксимировать с помощью распределения Пуассона. Чем больше число n и меньше число р, тем выше точность аппроксимации. Для аппроксимации биномиального распределения используется следующая модель Пуассона.

    где Р(Х) — вероятность X успехов при заданных параметрах n и р, n — объем выборки, р— истинная вероятность успеха, е— основание натурального логарифма, X — количество успехов в выборке (X = 0, 1, 2, …, n).

    Теоретически случайная величина, имеющая распределение Пуассона, принимает значения от 0 до ∞. Однако в тех ситуациях, когда распределение Пуассона применяется для приближения биномиального распределения, пуассоновская случайная величина — количество успехов среди n наблюдений — не может превышать число n. Из формулы (2) следует, что с увеличением числа n и уменьшением числа р вероятность обнаружить большое количество успехов уменьшается и стремится к нулю.

    Как говорилось выше, математическое ожидание µ и дисперсия σ 2 распределения Пуассона равны λ. Следовательно, при аппроксимации биномиального распределения с помощью распределения Пуассона для приближения математического ожидания следует применять формулу (3).

    Для аппроксимации стандартного отклонения используется формула (4).

    Обратите внимание на то, что стандартное отклонение, вычисленное по формуле (4), стремится к стандартному отклонению в биномиальной модели – , когда вероятность успеха p стремится к нулю, и, соответственно, вероятность неудачи 1 – р стремится к единице.

    Предположим, что 8% шин, произведенных на некотором заводе, являются бракованными. Чтобы проиллюстрировать применение распределения Пуассона для аппроксимации биномиального распределения, вычислим вероятность обнаружить одну дефектную шину в выборке, состоящей из 20 шин. Применим формулу (2), получим

    Если бы мы вычислили истинное биномиальное распределение, а не его приближение, то получили бы следующий результат:

    Однако эти вычисления довольно утомительны. В то же время, если вы используете Excel для вычисления вероятностей, то применение аппроксимации в виде распределения Пуассона становится излишним. На рис. 3 показано, что трудоемкость вычислений в Excel одинакова. Тем не менее, этот раздел, на мой взгляд, полезен понимаем того, что при некоторых условиях биноминальное распределение и распределение Пуассона дают близкие результаты.

    Рис. 3. Сравнение трудоемкости расчетов в Excel: (а) распределение Пуассона; (б) биноминальное распределение

    Итак, в настоящей и двух предыдущих заметках были рассмотрены три дискретных числовых распределения: биномиальное, гипергеометрическое и Пуассона. Чтобы лучше представлять, как эти распределения соотносятся друг с другом приведем небольшое дерево вопросов (рис. 4).

    Рис. 4. Классификация дискретных распределений вероятностей

    [1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 320–328

    baguzin.ru

    Из теории массового обслуживания известно, что простейший поток подчинен закону распределения Пуассона. Так как поток автомобилей является простейшим, т.е. удовлетворяет требованиям стационарности, однородности и отсутствия последствия, то вероятность того, что в течение единицы времени на предприятие прибудут т автомобилей за время t, определяется законом распределения Пуассона. [c.271]

    Стационарный однородный поток без последействия носит название простейшего или пуассоновского. Вероятность поступления k заявок за время t для такого потока выражается функцией распределения (закон распределения Пуассона) [c.200]

    Для закона распределения Пуассона 5 = 2 для закона распределения Эрланга 5=3. В данном примере г=6 (9—3). [c.55]

    Для расчетов параметров СМО на основе потока Пуассона необходимо проверить, соответствует ли он закону распределения Пуассона. Признак потока Пуассона — равенство математического ожидания X дисперсии G, т.е. X = и. [c.233]

    При установлении оптимального размера страхового запаса также учитывают разнонаправленное влияние его величины на разные элементы затрат или потерь. При уменьшении страхового запаса пропорционально сокращаются издержки его хранения, но одновременно с тем возрастает вероятность потерь и убытков, к-рые несет предприятие в случае исчерпания запаса и невозможности удовлетворить требования на данный вид ресурсов. Оптимальным считается страховой запас, при к-ром сумма этих издержек и потерь является минимальной. Для определения этого оптимума нужны расчеты по выявлению вероятности исчерпания запаса и возникновения дефицитности ресурсов (с оценкой ее размеров и длительности) и по измерению потерь или убытков, к-рые вызываются такой дефицитностью. Для выявления вероятности исчерпания запаса изучают статистич. данные за довольно длительный период времени и определяют закономерность колебаний потребления соответствующего материала и сроков выполнения заказов на пополнение запаса поставщиками. Упрощенное и достаточно надежное решение этой задачи достигается применением методики Монте-Карло, сущность к-рой заключается в имитации движения запаса на основе эмпирически установленных средних значений изучаемого показателя, показателя дисперсии (8) и таблицы случайных чисел для определенного типа распределения. Так, зная, что среднесуточное потребление данного материала а = 333 единицам, а его колеблемость 8= 64, и принимая, что распределение этих отклонений следует закону нормального распределения Гаусса, можно рассчитать сколь угодно длинный ряд суточного потребления, пользуясь таблицей случайных чисел и формулой А = а+3 Е, где Е — нормализованное отклонение по таблице случайных чисел. В табл. 1 приводятся значения суточного потребления, исчисленные по данной формуле. Аналогично строится модель вероятных сроков выполнения заказов на очередные поставки. Но при этом пользуются др. рядами случайных чисел, т. к. колебания сроков выполнения заказов лучше могут быть описаны законом распределения Пуассона. Допустим, что для данных условий ряд случайных чисел, характеризующих сроки выполнения заказов, можно записать так 6,9, 5, 5, 8, 6, 7 и т. д. Отправляясь от к.-л. исходной величины остатка материалов, от полученных расчетом рядов суточного потребления и наиболее вероятных сроков выполнения заказов, строят модель движения запаса. В табл. 2 принята нормальная партия заказа в 7500 шт., а уровень запаса, при к-ром выдается заказ на его пополнение, — 2000 шт. Чтобы эта модель давала достаточно надежную базу для выводов, ее рекомендуется продолжить условно на несколько тысяч дней, для чего обычно используют электронно-вычислительные машины. [c.270]

    В первом вопросе г=1 месяц=4 недели и тп=7. Тогда вероятность р7 (4) поступления в компанию за месяц семи требований по выплатам вычисляем по закону распределения Пуассона (см. 2-ю строку табл. 5.1) [c.84]

    Закон распределения Пуассона случайной величины Х( 0 г) М 0-5 л (т =0,1, 2. ) (6.1) [c.95]

    Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биномиальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т. д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения. [c.197]

    С помощью критерия х,2 можно проверять не только гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальным законом, но и с любым другим известным законом распределения — равномерным распределением, распределением Пуассона и т. д. Например, суд рассматривает жалобу посетителей казино на то, что, по их мнению, игральная кость, которой там пользуются, фальшива, некоторые числа очков, якобы, выпадают чаще, чем другие, и этим пользуются крупье, обирающие игроков. [c.201]

    Закон применим для дискретных случайных величин, вероятность каждой из которых очень мала. Поэтому закон Пуассона называют законом распределения редких событий (рис. 3.8). [c.136]

    Наиболее общей является ситуация, когда интенсивность потока покупателей носит случайный характер, то есть подчиняется распределению Пуассона, а время обслуживания подчиняется закону обратного экспоненциального распределения. Не будем заниматься выводом формул, отметим лишь, что [c.91]

    В работе [2] исследованы предельные распределения Н при п — °° и изменяющемся числе исходов k. Получены достаточные условия сходимости распределения Hk к нормальному (в предположении k = k(N) и -распределениям. В работе [40] описан класс предельных распределений для Hk в биномиальной схеме. Кроме нормального и -распределений могут появиться в качестве предельных законов нецентральное -распределение, распределение Пуассона. Установлен класс предельных распределений для Hk в полиномиальной схеме, когда p. —> /k при п — . и фиксированном k. В работе [62] проводится обобщение результатов для любого фиксированного k в полиномиальной схеме с k исходами при п независимых испытаниях. Исследования распределений оценки энтропии дискретных случайных величин (д.с.в.) натолкнули на мысль об обобщении полученных результатов на непрерывные случайные величины (н.с.в.). [c.19]

    Распределение сложных повреждений. Сложные аварийные состояния являются сравнительно редкими событиями и могут иметь случайное распределение при большом числе наблюдений, даже если многие из них являются определенно зависимыми, но побочные причины неизвестны. При таких условиях идея, заключенная в законе вероятности Пуассона, является плодотворной для предсказания вероятности готовности системы. [c.197]

    А. Событие Е 1 — случайная смерть, т. е. смерть в результате несчастного случая (на производстве, в быту, на транспорте и т. п.) это событие редкое. Для редких событий в большинстве случаев справедлив закон Пуассона или, поскольку случайной величиной является время наступления события, экспоненциальный закон распределения, задаваемый следующим образом [c.28]

    Из рис. 1.7 следует, что при увеличении математического ожидания а кривые распределения Пуассона становятся более симметричными. При а > 10 + 11 несимметричность распределения практически не ощущается и закон Пуассона можно заменять нормальным законом распределения с определенными допущениями. [c.27]

    Существует важное соотношение между пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно в сущности вывести из распределения Пуассона. [c.33]

    Пример 2.6. Рассмотрим производство автомобилей на заводе. Поток производимых автомобилей — нестационарный пуассонов-ский с интенсивностью Х(0- Найдем одномерный закон распределения случайного процесса ДО — число выпущенных автомобилей к моменту времени t, если в момент t = О начат выпуск автомобилей. [c.61]

    Первый этап в процессе определения подходящего закона распределения вероятностей — визуальное сравнение полученной гистограммы с известными теоретическими кривыми (равномерное распределение, нормальное распределение, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, гамма-распределение и т.д.). Однако такое визуальное распределение позволяет лишь сделать предположение о характере распределения и никогда не дает достаточных оснований, чтобы окончательно принять некоторую гипотезу о виде теоретического распределения. [c.91]

    Пуассон Симеон Дени (1781-1840) — французский математик, механик и физик, профессор Политехнической школы в Париже (с 1806 г.), член Института Франции и Бюро долгот (с 1812 г.), член Совета Французского университета (с 1816 г.), наблюдатель за преподаванием математики во всех колледжах Франции (с 1820 г.), почетный член Петербургской академии наук (с 1826 г.) получил выдающиеся результаты в области теории рядов, теории неопределенных интегралов, вариационного исчисления, теории вероятностей, математической физики, теоретической механики предложил (названный впоследствии его именем) один из важнейших законов распределения случайных величин в теории вероятностей. [c.71]

    Пусть параметр распределения Пуассона а>1 и [а]=1. Рассмотрим случайную величину ,, распределенную по закону Пуассона с параметром а. Известно, что pi — максимальна, при [c.35]

    Свидетельства, представленные ниже, относительно наличия «выбросов» во временном ряду ценовых приращений не полагаются на справедливость этого закона Пуассона. Фактически, мы уже идентифицировали небольшие отклонения от него в распределении просадок, что предполагает необходимость отхода от [c.67]

    Теоретическое распределение — распределение, выбранное для описания закона, которому подчиняется фактическое распределение. В качестве теоретических распределений в экономических исследованиях используются нормальное, Пуассона, Стьюдента и др. [c.209]

    Если непрерывная случайная величина принимает целые неотрицательные значения О, 1, 2,. . ., m, то закон ее распределения называется законом Пуассона, и вероятность того, что она примет определенное значение, выражается зави симостью. [c.134]

    Закон Пуассона выражает биноминальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Этот закон называют законом редких явлений. [c.134]

    Пример. Проверить, является ли поток требований в систему распределенным по закону Пуассона. [c.233]

    В реальной действительности интенсивность сбыта является случайной величиной, описываемой либо законом Пуассона (например, в рыночной торговле), либо показательным распределением вероятностей (например, в оптовой и розничной торговле), или нормальным распределением (например, на промышленной фирме). [c.199]

    Чем больше значение л, тем больше распределение чисел у,- будет приближаться к закону Пуассона (9.6). Значение л выбирается из условия (9.7) при известном параметре а. 20/ [c.207]

    Для определения весовых коэффициентов могут быть использованы и другие зависимости, в частности плотности распределения вероятностей (закон Пуассона, нормальный закон и др.). [c.69]

    Пример 3.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N — 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность А, 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час. [c.92]

    Для построения прогнозов ожидаемых значений объемов финансовых ресурсов депозитной природы, аккумулируемых на основе средств значительного числа вкладчиков (однотипных счетов), могут быть использованы стохастические модели банковских депозитов. В их основе лежат гипотезы о возможности описания процессов, ведущих к изменению количества счетов, и числа операций с ними с помощью случайных величин, распределенных по закону Пуассона, а коэффициентов относительного изменения счетов в ходе отдельной операции — с помощью случайных величин, имеющих логарифмически нормальное распределение. [c.201]

    Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1,2. т,. . а вероятность события Х=т выражается формулой [c.152]

    Приведем здесь еще два важных резу штата, для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (11 6), математическое ожидание и дисперсия равны параметру К данного распределения [c.202]

    При заметной удаленности ремонтного органа следует учитывать дополнительное снижение объема ЗИПа за время Т доставки агрегата в ремонт и обратно. При простейшем потоке заявок это распределение для фиксированного Т подчинено закону Пуассона [c.283]

    Распределение вероятности возникновения на газопроводах как внезапных, так и постепенных отказов весьма близко к распределению по закону Пуассона (табл. VIII-4). Распределение Пуассона характерно для многих процессов, в которых значение признака образуется числом повторений некоторого явления в течение известного периода. Условие его образования состоит в возможности повторения «этого явления через короткие промежутки времени, причем вероятность его не зависит от того, давно ли оно имело место в последний раз и сколько раз оно имело место. [c.199]

    Значение функции принадлежности ЦА(Щ) определяется экспертом или руководителем. У каждого специалиста эта функция может иметь различный вид. Один человек может считать, что высокий рост начинается с -1.6 м, а другой считает, что сейчас время акселератов и поэтому высокий рост начинается с 1,7 м. И сам вид функции VAfaJ, описывающей один и тот же объект, разные люди могут формировать по-разному. Один считает, что для данного объекта она симметрична и имеет вид равнобедренного треугольника, другой -что это равнобедренная трапеция, а третий — что она имеет вид фигуры неправильной формы. В этом принципиальное отличие функции /2A(Uj) от функции распределения в теории вероятностей. Сотнями экспериментов установлено, что рассеивание снарядов артиллерийских орудий подчиняется закону распределения Гаусса. И ни один специалист не имеет права считать, что оно подчиняется какому-нибудь другому закону распределения, например Пуассона. Если он так считает, он должен это доказать. Т.е. функция JUA(UJ) — это функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а скажем, функция распределения случайной величины или закон Байеса — это выражение объективной закономерности, независимой от отношения специалиста к этой закономерности. [c.92]

    Для вычислений вероятностей Р(у = у ) ряда распределения Пуассона удобно использовать функцию ПУАССОН(х среднее . ) пакета Mi rosoft Ex el. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой ШУ = Dy = а. График вероятностного ряда распределения Пуассона для среднего значения а=1,7 представлен на рис. 7.5. [c.250]

    Иногда исследователь хочет проверить, попадают ли значения конкретной переменной под определенный тип закона распределения, например нормального распределения, равномерного или распределения Пуассона. Знание закона распределения необходимо для нахождения вероятностей, соответствующих известным значениям переменной или для нахождения значений соответствующих известным вероятностям (см. Приложение 12.А). Критерий согласия для одной выборки one-sample [c.589]

    Перед тем, как вернуться к данным, мы должны спросить себя о том, что можно ожидать на основе гипотезы случайных блужданий. Если ценовые изменения независимы, положительные (+) и отрицательные (-) шаги следуют друг за другом подобно «орлам» и «решкам» рыночного броска монеты. Для симметричных распределений ценовых изменений, начинающихся с плюса, +, вероятность получить минус, -, равна 1/2. Вероятность получить два минуса в ряду -1/2×1/2=1/4 вероятность получить три минуса в ряду — 1/2 х 1/2 х 1/2 = 1/8, и так далее. Для каждого дополнительного отрицательного приращения мы видим, что вероятность делится надвое. Это определяет так называемое экспоненциальное распределение, описывающее тот фаю1, что увеличение длительности просадки на одну единицу времени делает ее вдвойне менее вероятной. Этот показательный закон также известен, как закон Пуассона и описывает процессы, не имеющие [c.67]

    economy-ru.info

    Распределение Пуассона дискретной случайной величины

    Распределение Пуассона: формула вероятности редких событий

    Распределение Пуассона — случай биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

    Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

    Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

    ,

    где m число наступления события A;

    — среднее значение распределения Пуассона;

    e=2,7183 — основание натурального логарифма.

    Закон Пуассона зависит от одного параметра — λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.

    Условия возникновения распределения Пуассона

    Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

    Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

    .

    В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

    Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

  • стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
  • ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
  • отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x — число событий m;
  • среднее;
  • интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 — если вероятность F(m).
  • Решение примеров с распределением Пуассона

    Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, . вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

    Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

    Решение. По формуле Пуассона получаем:

    Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины — 0):

    Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины — 1):

    Пример 2. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

    Решение. Случайная величина X — число звонков за 2 минуты с параметром — распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

    а) (так как 0! = 1 ).

    б) .

    в) .

    Пример 3. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

    Решение. Случайная величина X — число составов за 0,5 часа с параметром — распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

    а) .

    б) .

    в) .

    function-x.ru

    Это интересно:

    • Петропавловск защита прав потребителей Защита прав потребителей в г. Петропавловск-Камчатский Каталог организаций по защите прав потребителей в г. Петропавловск-Камчатский Защита прав потребителей органами государственного надзора Защита прав потребителей правозащитными общественными организациями ВАЖНЫЕ […]
    • Закон о ветеранах тамбовская область РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯТАМБОВСКАЯ ОБЛАСТЬ О звании "Ветеран труда Тамбовской области" Принят Тамбовской областной Думой 19 декабря 2014 года Статья 1. Общие положения Статья 1. Общие положения 1. Настоящий Закон устанавливает правовые и организационные основы присвоения […]
    • Законы о детях сиротах 2018 Государство берет на себя заботы о детях, которые лишены родительского попечения. Им предоставляются разнообразные преимущества, платятся деньги на проживание. В 2018 году льготы детям сиротам финансируются из региональных бюджетов РФ . Какого ребенка причисляют к […]
    • За что в лесу дают штраф Какой штраф положен за разведение костров в 2018 году Как часто, выбираясь на природу, мы привыкли разводить костер для приготовления шашлыков или просто для согрева прохладным вечером. Сидя вокруг костра, создается атмосфера уюта даже вдалеке от цивилизации. Но зачастую […]
    • Вопросы при товароведческой экспертизе Товароведческая экспертиза (Экспертиза товаров: мебели, одежды и обуви, бытовой техники, оборудования и средств связи, музыкальных инструментов и прочих непродовольственных товаров) Товароведческая экспертиза - исследование товара, проводимое компетентными специалистами на […]
    • Детские пособия в крыму 2018 Какие детские пособия предусмотрены в РФ в 2018 году Материальная сторона воспитания детей волнует, без исключения, каждую семью. Денежные траты на детишек начинаются еще на этапе беременности. И все это вытекает в приличную сумму. Финансовая помощь оказывается приоритетно […]
    • Получить материнский капитал в перми Материнский капитал в г. Пермь (Индустриальный район) Пермского края Процедуру получения сертификата на материнский капитал регламентирует Приказ Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации от 18 октября 2011 г. N 1180н "Об утверждении Правил […]
    • Преступление и наказание очень кратко о романе Очень краткое содержание Преступление и наказание (Достоевский Ф. М.) Преступление и наказание, само название весьма лаконично и кратко передаёт смысл романа. По одному названию можно понять, что сперва следует преступление и за ним, следом, наказание. Раскольников много, […]